1.2.2　庞加莱球图示法

庞加莱球是表示任一偏振态的图示法，是1892年由H.Poincare（庞加莱）提出来的。由于任一椭圆偏振光只需要两个方位角就可以完全决定其偏振态，而两个方位角可以用球面上的经度和纬度来表示，因此球面上一个点就可以代表一个偏振态。球面上的点，就是各种偏振态的组合。

1．斯托克斯参量描述

任一平面单面光波的偏振态可用两个相互垂直的振动来表示。如以xOy表示其振动平面，则这两个振动可表为

式中，为该单色光的角频率；和分别为在振动平面内沿和方向的振幅；为a、b间的相位差。正是这3个相互独立的常量共同描述着该光波的偏振态。但是，我们也可以不用它们，而用Stokes参量来描述其偏振态。Stokes参量共有4个，它们是

注意，这4个量中只有3个是独立的。因为，无论为何值，这4个量总存在着一个关系：

而其中的平方表示该光波振动的强度。

根据式（1.28）和式（1.29），我们可以引入这样一个三维空间，它由相互垂直的空间轴、和所构成。在这个空间里，对任一已知强度（一定）的单色光波都可作一球面：球心在原点，半径为。这样一来，该球面上的任意一点M就表示该光波的一个特定的偏振态。由图1.12中可看出，球面上任一点M的坐标、和分别与、和有如下关系：

如上定义并用来描述特定强度的单色光波的偏振态的这种球面就是庞加莱球（Poincare球）。

2．庞加莱球特征

由上述定义和球面三角学的基本公式可以证明庞加莱球具有如下的特征：

①庞加莱球赤道上的不同点表示振动方向不同的线偏振光，如图1.13所示。因为在这些点上，即a=0或b=0，或，其中k只能为零或任一整数。在Os1轴与球面的交点A处，也为零，有，因此，即点A表示平行于（Os3）的线偏振态。同理，在Os2轴与球面的交点B处，由式（1.28）可知它表示与（Os3）成45°的线偏振态。与点A通过球心在球面上对应的点A′表示与（Os3）成90°即与（Os2）方向平行的线偏振态。不难直接证明：在赤道上与对应的任一点C表示与（Os3）成角的线偏振态。

②庞加莱球的两极P和P′分别表示左旋和右旋圆偏振态。因为在这两点处，则有和。对于P点，，k为零或偶数；对于P′点，，k为奇数。

③庞加莱球上任一确定点()，由于和和都确定，因而也确定。所以，一确定的点表示一确定的椭圆偏振态。两极和赤道除外，由式（1.28）和（1.30）可以得到

正是当确定时，由式（1.28）表示的由两相互垂直振动所合成的椭圆振动的主轴与方向的夹角。又由于在庞加莱球同一经线上的各点有相同的，所以这些点表示不同的椭圆偏振态，但这些椭圆的主轴有相同的取向，它们的主轴都与成角。由式（1.28）和（1.30）也可以得到

的正切是当确定时，由式（1.28）表示的由两相互垂直振动所合成的椭圆振动的轴比。因此，庞加莱球同一纬度线上的各点（有相同的）表示不同的椭圆偏振态，且这些椭圆具有相同的轴比，或者说具有相同的偏心率，如图1.13所示。由式（1.28）和式（1.30）还可以得到

另一方面，将球面三角学的基本公式用于庞加莱球面上的直角三角形（见图1.14），可以得到

由这三个式子消去，得到

比较式（1.33）和式（1.37），可知，即证明了在庞加莱球面上的角就是构成点所表示的椭圆偏振态在和方向的两个振动分量的相位差。

又由于对北半球的各点，满足：

即方向的振动都超前于方向的振动，故它们所表示的各椭圆偏振态都是左旋的；相反，在南半球的各点所表示的各椭圆偏振态都是右旋的（见图1.13）。

④可以证明在庞加莱球上的仅与有如下关系：

而与无关。

注意：当点不在赤道上时，它所表示的椭圆偏振的主轴与夹角由式（1.31）中的所确定。在这些点上，由于，一般来说。只有当（即）时，或M点在赤道上（）时才有。