3.2 卷积编码

3.2.1 卷积码的基本概念

选择信道编码方法时，首先是在给定的剩余比特差错率（在应用了信道编码和相应的解码后剩余的差错）和平均编码率以及传输带宽下，选择允许最低的载噪比C/N的一种方法。好的信道编码方法，使剩余比特差错率曲线向小的C/N方向移动。

除了剩余比特差错率曲线的相对位置随C/N而变化外，卷积码的能力还可以通过剩余比特差错率曲线的斜率来表明其特征。在应用相同的冗余的情况下，如果在信噪比方面有进一步获益，陡的曲线总是值得追求的。然而，这就要求信道解码器有明显高的复杂性。

卷积码又称连环码，是由Elias于1955年首次提出的。卷积编码用移位寄存器即可实现。在同等码率和相似的纠错能力下，实现起来通常要比分组码简单。但是，卷积码的数学结构不像分组码那样严密，因此，译码方法较为复杂。

为了进行卷积编码，将比特序列组成的信息送入移位寄存器组成的卷积编码器中，通过移位寄存器不同抽头的组合，得到编码输出数据。

现借助如图3-2-1所示的卷积编码器说明其结构，并解释一些基本概念。

在如图3-2-1所示的卷积编码器中，每次输入1个比特而产生出2个比特的输出。输入帧宽度m=1比特，输出帧宽度n=2比特，编码率R=m/n=1/2。编码器的记忆，即存储器深度，是以现实输入以前的对编码做出贡献的比特数量来定义的。如果移位寄存器的数量（长度）为S，则存储器深度为S·m，本例中，S=4，m=1，故S·m=4。另一个概念“约束长度”K，它是所有参与编码过程的比特总数。在该例中，K=（S+1）·m=5。图示编码器共有2s.m=24=16种可能的状态（即4个移位寄存器存储内容的24=16种可能的组合）。

卷积编码器是通过移位寄存器的数量和抽头位置的配置来表明其特征。通常用生成多项式G来表示，多项式中各项的系数是0或1，取决于相应的移位寄存器是否有抽头。多项式系数的归并通常用八进制表示。不论用多项式还是用八进制表示，都应为每个输出支路分别给出。

对于如图3-2-1所示的编码器来说，G1=1+X2+X4（八进制25）和G2=1+X3+X4（八进制31）。需要说明的是，这里生成多项式的最低次项代表移位寄存器的现实输入，而最高次项代表有延时的最后的移位寄存器的抽头输出（在本例中，G1和G2的最高次项都对应最后一个移位寄存器的抽头）。

3.2.2 卷积编码器举例

现以如图3-2-2所示的简单卷积编码器为例，说明卷积编码的基本原理。

如图3-2-2所示的卷积编码的特征数据是：

由图可以看出，编码器的输出为

C1，i=mi-2⊕mi-1⊕mi，C2，i=mi-2⊕mi

式中，mi是现时时刻的输入码元；mi-1与mi-2是前一时刻与更前一时刻输入并移位存储在寄存器1（左边）和2（右边）的码元，即代表编码器的状态；⊕代表模2加法运算，即不进位的二进制加法，其规则是：1⊕1=0，1⊕0=1，0⊕1=1，0⊕0=0。

设移位寄存器的初始状态为00，当输入第一位信息为1 时，即mi=1，mi-1=0，mi-2=0，则C1.i=1，C2.i=1，输出Ci=11；接着当输入第二位信息仍为1时，则此时mi=1，mi-1=1（由前一时刻输入移位形成），mi-2=0，则C1.i=0，C2.i=1，编码输出Ci=01；依此类推，可得出相应于输入序列的编码输出序列。不难证明，当输入序列为10110000…时，对应的编码输出码元序列是1110000101110000…。如表3-2-1所示是图3-2-2编码器状态，输出、输入之间的关系。

3.2.3 卷积编码器的状态图和网格图

从信息学的角度来观察，可以把卷积编码器看作是一个自动装置，它可以通过可能的内部状态表明其特征。可能的内部状态，可以从存储器数目决定的0和1 相组合的数目推断出。根据现实的输入符号和现实的内部状态，自动装置给出一个（或多个）输出符号（这里是比特），并且变化为一个新的状态。通常用一个状态图来表示。如图3-2-3所示就是图3-2-2所示的卷积编码器的状态图。

在图3-2-3中圆圈中的1、0组合代表编码器的状态，或移位寄存器的现实内容，其中左边一位代表mi-2，右边一位代表mi-1。从每个状态发出两条过渡路径以及两条另外的汇入路径（状态00和11时，有一条路径既是发出又是汇入）。每条路径旁标记的数字，例如，从状态“00”过渡到状态“01”的路径标有1/11，表示在状态“00”时，当输入“1”时，编码器输出“11”；其他依此类推。可以看出，如图3-2-3所示的状态图与表3-2-1所示的输入、输出关系和状态过渡关系是一致的。

将状态图在时间上展开，便可以得到卷积编码的网格图（或称篱笆图）。如图3-2-4所示便是相应于图3-2-2编码器的网格图。

在网格图中，从每一状态都引出两条路径分别到一个新的状态；如果输入符号为“1”，路径用虚线表示，输入符号为“0”时，路径用实线表示；路径旁标出的数字表示输出C1.iC2.i。例如，从状态“00”出发，当输入“1”时，输出为“11”，沿着虚线路径过渡到状态“01”，这与图3-2-3所示的状态图是一致的。

3.2.4 卷积解码—维特比解码

1.解码原理

卷积码的解码方法通常有门限解码、维特比（Viterbi）解码和序列解码。

通常情况是按照维特比原理进行解码的，维特的解码是一种建立在最大似然软判决的基础上的概率解码，它虽有最好的性能，但解码的运算量是随着约束长度呈指数增加。随着超大规模集成电路技术的发展，现已有单片的维特比解码器。

在解码时，解码器根据接收的序列、信道统计特性和编码规则，力图寻找原来编码时通过网格图的那条路径，只要找到了那条路径，也就完成了卷积解码，并同时纠正了传输中的差错。

下面通过实例来说明维特比解码过程。设数据序列1011000送入如图3-2-2所示的卷积编码器，则得到编码序列：1110 00 01 0111 00。

如果在传输过程中，编码序列的第2和第5个位置出现了差错，那么接收的序列就为：10 10 10 01 0111 00。现在，我们借助网格图来解释整个维特比解码过程。在解码时应注意，状态图中的输出和输入相对于编码来说必须互换。

第一步：解码器处于状态“00”并接收到比特序列“10”，正如状态图所示那样，编码器根本不可能产生这种比特序列，因为从状态“00”出发，只能给出以下两种选择的可能性：

① 发射“00”并保持状态“00”[在图3-2-5网格图（a）中左上水平方向过渡路径]。这样，解码器“知道”：在这种情况下，只接收一个正确的比特。作为正确比特的总和在过渡路径末端记上（1）。

② 发射“11”并过渡到状态“01”[图3-2-5（a）中的左上斜虚线]。在这种情况下解码器也“知道”：只接收了一个正确的比特，作为正确比特的总和也在路径末端记上（1）。

第二步：解码器现在又接收到比特序列“10”

① 在对这第二个比特序列解码时，从状态“00”出发，接收“00”序列时仍保持状态“00”，或者接收“11”序列时过渡到状态“01”是可能的。在这一步骤中，实际接收的是“10”，所以也分别只有一个比特是正确的。考虑到第一步中的一个正确比特，在现在可能的两条过渡路径的末端分别记上正确比特总数（累加值）（2）。

② 从状态“01”出发，当接收到“01”序列时，过渡到状态“11”，由于收到的是序列“10”，所以两个比特都是错误的。故这条过渡路径的末端累计正确比特数仍为（1）；当收到“10”序列时，过渡到状态“10”，这两个比特序列“10”都是正确的，因此累计总共有3个正确的比特，在过渡路的末端记上（3）。

第三步：现在接收到第三个比特序列“10”[如图3-2-5中（a）所示]。分析状态之间可能的过渡并将输入序列同可能的接收值进行比较，会出现这样的情况：在每个状态点两个过渡相汇聚。维特比解码是从两个过渡中准确选择具有最多的正确接收比特总数（累加值）的过渡路径，称为幸存路径，将另外的丢去，结果可从图3-2-5（b）中看出。如果汇聚在一起的两个过渡具有相同的正确接收比特总数，可选择保留任一个过渡，因为从这一点向后，不再可能做出确定的判决。

依此类推，继续进行以后的处理。最后，选择出穿过网格图具有最多正确接收比特总数（该例中为12）的路径[如图3-2-5（f）所示]，由此得出最大可能的状态序列，并借助状态图得到原始的信息序列：

最大可能的状态序列为00 0110 011110 00 00；

解码并修正后的接收序列（即发端信道编码输出序列）为1110 00 01 0111 00；

信息序列（即发端信道编码输入序列）为1011000。

在此顺便指出，人们通常把两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的位数，定义为两码组的距离，称为汉明（Hamming）距。因此，穿过网格图具有最多正确接收比特总数的路径也就是汉明距最小的路径。

最后，需要指出的是上述的讨论都是先将接收的数值（复数载波幅度的实部和虚部）判决为0或1（硬判决），然后送给维特比解码器。为了实现能力强的解码，接收的信号在解码前不是判决0或1，而是判决为中间值（软判决），如0.25，0.5和0.75 等。通过在解码器中应用软判决，可以明显准确地估价通过网格图所选择的路径的正确概率，典型编码增益可以达到2dB的数量级。

如图3-2-6所示是维特比解码器原理方框图。

2.硬判决与软判决

因为在通过实际的信道传输时，信号常常受到干扰，在接收机中数字信号的幅度不再是离散的（有限的幅度等级），而是弥散在整个范围。数字只能用统计来描述。为了从变形的信号中得到原始的离散值，在接收机中维特比解码器应用了硬判决和软判决。它们根据原始数据的最大概率从接收的数据中进行计算。如果应用硬判决，判决阈处于与状态0和1 相对应的幅度值的中间。如图3-2-7所示是接收信号的概率密度分布与硬判决时的判决阈。

在软判决时人们应用了很多个阈值，这样可以进行准确的估计，当然，这也意味着更多的复杂性。使用软判决的维特比解码器（7个阈值，8个范围，用3比特编码）相对于硬判决有2dB典型的编码增益。如图3-2-8所示是在软判决时通过很多判决阈对输入信号量化。

3.2.5 卷积码的BER

卷积码的约束长度越长，纠错能力越强，BER指数下降，但解码运算量呈指数上升，因此，通常将约束长度限制在10以内，如图3-2-9所示是编码率为1/2、采用QPSK调制时的卷积码的BER特性。

由图3-2-9可以看出，要想得到10-5误码率，不进行信道编码时，要求 Eb/N0要大于9.5dB；进行卷积编码，当约束长度K=2 时，要求Eb/N0大于5.9dB，（编码增益9.5-5.9=3.6dB），而当K=8时，要求Eb/N0大于3.5dB就可以了（编码增益为9.5-3.5=6dB）。