1.2.2 永磁同步电机电磁力模型

机电耦合系统由机械系统、电磁系统和联系二者的耦合磁场等组成，其功能生成过程是电能与机械能通过电磁耦合场相互转换的过程，因此需要准确计算空载以及负载气隙磁场，从而获得永磁同步电机电磁转矩与不平衡磁拉力作用下的机电耦合振动。

1.电磁转矩

永磁同步电机气隙磁场电磁力的计算主要包括有限元法（Finite Element Method，FEM）与解析法[22]。有限元法能够反映电机内部各种因素的影响，从而精确计算永磁同步电机的电磁转矩，但是处理过程复杂、计算时间较长，且不能提供解析解，因此在车用永磁同步电机控制系统的设计及机电耦合分析中不便采用[23]。

1993年，英国谢菲尔德大学的诸自强教授采用解析法分四种情况（①开路场；②电枢反应场；③定子齿槽效应；④负载合成磁场）计算了表面式无刷永磁直流电动机的瞬态气隙磁场分布[24-27]，解析计算结果与有限元法计算结果具有较高的吻合度，为永磁电动机电磁力的计算奠定了理论基础。Chenet S等学者对永磁同步电动机的径向振动和转矩脉动进行了理论计算和试验验证[28]，当电枢电流对称时，电机定子齿部存在径向和切向振动；当电枢电流不对称时，对切向振动影响较大，对径向振动影响较小。针对径向力对永磁同步电动机振动的影响，Taegen F用解析法进行了理论推导与计算，认为增加电动机定子绕组的相数可一定程度上减小径向力[29]。Jiao[30]推导了转矩和径向力脉动与定子绕组电流间的函数关系，用来预估转矩和径向力，提出通过弱磁控制下可减少大约30%的径向力脉动。还有很多的相关文献采用该方法进行气隙磁场与电磁转矩解析模型的计算[22-23,31-33]。基于麦克斯韦应力应变法，电磁转矩直接通过径向和切向磁通密度计算，而通常这种方法是基于铁心磁导率无穷大的假设，即不考虑铁磁材料磁化特性（图1-7所示为铁磁材料的B-H磁化曲线，可以看出铁磁材料的磁化特性具有非线性的特点），因此无法考虑磁场饱和的影响，适用于电机的优化设计阶段。

常用的电磁转矩动态模型采用的是基于虚功原理和Park变换的双轴模型。其中，理想的PMSM电磁转矩模型是基于忽略铁心饱和、正弦永磁磁场分布、正弦波电源供电、气隙均匀假设，忽略了电磁参数的变化与谐波的影响，大多数转矩控制模型都采用此模型建立[35-37]；但永磁同步电机的磁场会随电机运行工况发生不同程度的饱和，从而影响电感与永磁磁链等电磁参数[38-39]，可通过冻结磁导率的方法计算各个电磁参数随电枢电流变化情况[40]。

永磁同步电机采用永磁体励磁，转子磁场与永磁体的结构与空间布置有关。图1-8所示为永磁同步电机永磁体空间磁场分布示意图，正弦波为理想情况下假设的永磁体磁场分布，波动的方波为非正弦永磁体磁场空间分布。忽略永磁磁场的正弦分布的假设，文献[33]与文献[42-44]研究了永磁体非正弦空间谐波磁场产生的电磁转矩波动，推导了电磁转矩波动的解析表达式，提出非正弦分布的气隙磁场是永磁同步电机转矩波动的最主要源头。

图1-7 铁磁材料B-H磁化曲线

图1-8 永磁体空间磁场分布示意图

随着电力电子技术的发展与电机性能水平的不断提高，车用电机的调速系统采用的是电力电子变频装置，虽然控制系统采用了电流的快速跟踪技术，但是电枢电流中仍然存在谐波电流，从而引起转矩的波动[33]，其中某些阶次较低的谐波转矩就有较大的波动幅值，对电机转矩脉动及电磁噪声影响也最为严重。图1-9所示为永磁同步电机电枢电流示意图，实线为理想情况下假设的正弦波电枢电流，虚线为实际的非正弦包含高次谐波电枢电流。

图1-9 永磁同步电机电枢电流示意图

文献[44]分析了电磁转矩的波动特点，基于等效电路给出了谐波电流中的电磁参数计算方法，推导了电磁转矩及谐波电磁转矩的解析计算公式。文献[45]认为6次谐波电磁转矩是电磁转矩波动的主要阶次，并通过仿真计算了空间矢量调制下电机的该阶次谐波转矩，研究结果表明电流调制时插入的零矢量是引起转矩的6阶波动的主要原因。文献[46]研究了由空间矢量脉宽调制和死区效应引起的转矩脉动，结果表明通过采用电流补偿的方法可以消除死区效应来减小电磁转矩的波动。永磁体的磁通密度随温度变化会引起的电磁转矩波动，文献[48]运用在线自适应法补偿温度变化引起的永磁同步电机电磁转矩波动。

2.不平衡磁拉力

由电机转子偏心产生的不平衡磁拉力（Unbalanced Magnetic Pull，UMP）在任何电机中都是值得关注的问题[49-50]，从本质上来说其产生的原因是因为电机气隙磁场不对称，不平衡磁拉力的常见因素是电机气隙偏心而引起磁路不对称。在实际工程应用中不平衡磁拉力的计算往往还是采用线性经验公式[51]，假设不平衡磁拉力与相对偏心率成正比，这种处理方式在当偏心量较小时可以满足工程精度要求，但是当偏心量较大时就会产生较大误差。

在电机界的学术研究领域，从众多文献来看，不平衡磁拉力的计算模型主要有解析法模型和有限元模型两种。Kawase Y等以内置式永磁同步电机为研究对象，通过三维电磁场分析为基础计算了电机转子偏心条件下的电磁力[52]；针对如图1-10所示的不同转子偏心的方式，Kim U推导了转子动态偏心条件下的电磁力的解析式，并利用有限元计算比较了不平衡磁拉力的变化[53]。Wang等学者考虑了永磁同步电动机导磁材料的非线性特征，利用相对磁导函数修正了气隙磁导模型，提出了电机转子静态和动态偏心的集中磁参数的解析模型[54]，Kim等的研究结果表明转子偏心容易引起气隙磁场的局部饱和，导致UMP的基波和谐波密度增加，并且与转子偏心呈现非线性的关系[55-56]；Kim等学者[57]以内置式和表面式高速永磁同步电动机为研究对象，研究了存在转子偏心的情况下径向力密度和电磁不平衡力对电机动态响应的影响，通过磁场分布和转子响应耦合计算，指出内置式比表面式永磁同步电动机更容易引起电动机的振动。Lee[58]和Yang[59]通过有限元计算了永磁同步电机在静态偏心、动态偏心与混合偏心条件下的不平衡磁拉力，并分析了不平衡磁拉力的频率特性，为偏心故障提供了理论指导。以上模型都假设电机的气隙沿轴向方向是不变的，其偏心如图1-10a所示。

Dorrell[60-62]在不平衡磁拉力方面的研究是比较早而且比较深入的。文献[60]推导了表贴式永磁同步电机不平衡磁拉力的解析式，通过2D有限元仿真计算了基波与谐波项，研究结果表明由于表贴式永磁体的宽度与厚度，不平衡磁拉力与负载变化的关系很小；文献[61]研究了磁场不对称与静态转子偏心下分数槽无刷永磁电机的不平衡磁拉力，采用有限元针对不同的槽数、极数与绕组分布进行了计算域分析，研究结果表明在给定偏心条件下，某些绕组结构会产生更大的不平衡磁拉力，同时交替绕组对偏心更敏感。文献[62]针对图1-10b所示的偏心情况研究了不平衡磁拉力，并通过试验对仿真结果进行了验证。另外，Kawase等学者[63]通过有限元计算方法分析了永磁同步电动机转子倾斜偏心对电磁力的影响，表明内置式永磁同步电动机转子倾斜偏心对电动机对轴向力和转矩影响较小，对其他两个方向的径向电磁力影响较大。

图1-10 电机转子偏心情况