三、引力场的高斯定理与泊松方程

我们遇到的物体如果不是由离散的质点组成的，而是具有连续的质量分布的，那么只需要将前面相关公式的求和改成积分即可，比如引力场的表达式为

其中，dm是质量微元，它等于质量密度与体积微元的乘积，rm是场点到质量微元dm的距离，矢量是体积微元指向场点方向的单位矢量。

我们选取一个闭合曲面S，然后尝试计算S上引力场的通量：

上式第二个等号交换了曲面面积与质量积分的顺序。我们先来分析其中的曲面积分。请看图2：

我们将对应的曲面微元的边界上各点与dm连接起来构成了一个锥体，并在的位置做出了这个锥体与垂直的截面。从其中的几何关系可以知道，与的夹角正好等于对应的曲面微元与前述截面的夹角。又因为是单位矢量，所以正好等于前述截面的“带符号面积”——当与夹角小于π/2 时，该带符号面积等于截面的面积；当与夹角大于π/2 时，该带符号面积等于-1 倍的截面面积。

进一步地，由于前述截面垂直于，所以截面面积除以正好等于相对于dm所张开的立体角。于是

是相对于dm所张开的“带符号立体角”。

如果dm处于闭合曲面S内部，那么有

如果dm处于闭合曲面S外部，那么从dm出发的锥形微元，由于“有进必有出”，一般都会与S相交偶数次，这偶数个面积微元所对应的立体角大小都一样，而“进去”所截取的面积微元对应的带符号立体角刚好与“出来”所截取的面积微元对应的带符号立体角的符号互异，所以这偶数个面积微元的带符号立体角之和等于零。于是，我们可以知道，当dm处于闭合曲面S外部时，有

将上述两个式子代入式（3）可得

其中，V是曲面S所包围的区域。从这个结果可以知道，引力场在闭合曲面上的通量正比于闭合曲面内部的物质质量，与曲面外部的质量分布无关。这就是引力场的高斯定理。

我们对引力场在闭合曲面S上的通量使用散度定理，可以得到

将它与高斯定理联合，得到

由于闭合曲面S是任选的，于是上式对任意有界区域V都成立，所以必然有

这就是引力场散度与物质密度的关系。考虑到引力场与引力势的关系：，将其代入上式，得到

这就是引力场的泊松方程，它描述了引力势与质量密度的关系。

小结

Summary

在本节中，我们介绍了数学上的散度定理，这个定理可以将一个矢量场在闭合曲面上的通量转化成矢量场散度在闭合曲面所包围区域内的体积分。然后，我们引入了引力势和引力场的概念，并介绍了怎么从引力势得到引力场。一般来说，不是所有矢量场都存在相应的势，在数学上可以证明，只有旋度为零的矢量场，才可以合理地给它定义相应的势，引力场就是满足要求的一种矢量场。最后，我们还证明了引力理论中的高斯定理，并将它与前面介绍的各个重要结果结合得到了泊松方程。借助泊松方程，将可以从物质密度分布得到引力势，下一节我们会对此做进一步的介绍。

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[1]整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第67期视频，由涂凯勋、李松执笔。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第75期视频，由李松执笔。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第84、85期视频，由李松执笔。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第106期视频，由李松、涂凯勋执笔。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第120期视频，由李松、涂凯勋执笔。

[2]《张朝阳的物理课》第一卷一书包含了“张朝阳的物理课”视频课程前66期的内容。部分文献也会将其称为高斯定理。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第86期视频，由李松执笔。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第107期视频，由李松、涂凯勋执笔。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第122、123期视频，由李松、涂凯勋执笔。