6.3　基于博弈模型的数值分析

我们研究纳什均衡的存在性和唯一性，原因在于社会网络博弈模型的结构往往比较复杂，模型的解难以用显性函数来表示，模型参数变动对解的影响很难通过常规的比较静态分析来实现。因此，数值分析常常被用来研究这类复杂模型的解的特征。但如果模型存在多个均衡解，搜索纳什均衡的计算量可能会非常大，而且很难获得确定性的结论。因此纳什均衡的存在性和唯一性意味着数值方法能够作为一个合适的工具对解的特征进行分析。这一节的数值分析建立在上文的理论模型基础之上，主要探讨三个问题：①“嫌贫爱富”行为背后的逻辑；②自有资本分布、预算约束与资本实力的关系；③“乐于助人”的社会效益。

6.3.1　数值分析的计算过程

在数值分析的过程中，我们设定对于任意参与者i，自有资本A_i∈（0，1）。预算约束有两种形式：①预算约束与自有资本正相关，即b_i=δA_i，∀i∈N；②预算约束与自有资本无关，即对所有参与者b_i=，为常数。另外，设f（c_ij）=。这个函数满足连续可微，严格递增的凸函数条件，且f（0）=0，且′（c）=＋∞。为了满足f（＋∞）=1，可以设定γ>1。我们在这一部分的分析中默认设定γ=2。γ的比较静态分析将专门在第四节进行。数值分析的计算过程可以简要表述如下：

（1）设定参与者人数，即网络中的节点数。对于任意一个参与者i，随机生成一个（0，1）区间上的数值，作为A_i。依据A_i生成预算约束b_i=δA_i或者b_i=，为常数。设定初始策略组合矩阵C为一个零矩阵。

（2）所有参与者依据初始状态，遵循理性原则，即f′（c_ij）[u_j-f（c_ji）u_i]=f′（c_ih）[u_h-f（c_hi）u_i]和预算约束条件=b_i计算最优策略。所有参与者的新策略构成新的策略矩阵C。

（3）新的策略矩阵会导致新的资本实力分布，这个机制由U=[D-f（C）]-1A决定。

（4）重复上述过程，直至前、后两期U的元素变化率全部小于指定的迭代精度。本文设定的迭代精度为0.1%。

6.3.2　“嫌贫爱富”行为背后的逻辑

模型纳什均衡的另外一个特征就是：所有参与者都将较大比例的预算用于维持与富裕参与者的关系，同时给贫穷的参与者送的礼物相对较少。图6-1展示了一个随机实验的例子。在这个例子中，参与者人数为4，f（c_ij）=，预算约束设定为b_i=0.3A_i，∀i，j∈N。每个参与者的特征由两个变量来描述，即自由资金和均衡状态下的资本实力。例如，参与者2的自有资金为0.63，均衡状态下的资本实力为0.95，在图中描述为（0.63，0.95）。箭头是指每个参与者为其他参与者付出的成本（时间、礼物等）数量。例如，参与者2给参与者3的数量是0.080，给参与者1的数量是0.023，给参与者4的数量是0.086。参与者2的自有资金数量最多（0.63），也就是说，参与者2是这个简单网络中最富有的。而他的资本实力，即可利用资金的最大数量，也是最大的（0.95）。其他参与者送给参与者2的数量最多。任何一个参与者都根据其他参与者的富有程度分配时间和礼物等资源，并且把更多的资源用于维持与相对富有的参与者的关系。

我们可以看到，以最大化资本实力为目的的社交行为（社会网络博弈）最终会导致一种“嫌贫爱富”的状态（博弈策略）。这个博弈过程存在唯一的、稳定的纳什均衡，说明这种“嫌贫爱富”的状态很难避免。“最大化资本实力”这一经济目标客观上决定了“嫌贫爱富”这一社会状态。因此，仅仅从主观上对这一社会状态进行批判无助于问题的解决。意欲改善社会道德状况，必须根治导致这一结果的“经济基础”。本文的社会网络博弈模型揭示了一个重要的问题：如果人们只能通过私人关系获得资金（资本）支持，那么，这必然会导致“嫌贫爱富”的社会状态。要想从根本上改变人们的行为方式，扭转“嫌贫爱富”的道德陷阱，就必须从根本上改变人们获得资金（资本）支持的渠道。

图6-1　纳什均衡时的“嫌贫爱富”

6.3.3　资产分布、预算约束与资本实力

在这一部分中，我们首先设定维持关系的预算占自有资本的比例为30%，即b_i=0.3A_i，∀i∈N。然后改变关于预算的设定，使所有参与者都面临相同的预算，即设定b_i==0.3，∀i∈N。图6-2描述了自有资本与资本实力的关系。(62)很显然，自有资本越多，最终实现博弈均衡时的资本实力就越大。并且随着参与者人数的增加，每个参与者在自有资本一定的情况下都能够获得更大的资本实力。当所有参与者面临相同的预算约束时，资本实力的分布更加平等。这说明除了自有资本，预算约束同样也能够影响均衡状态下的资本实力分布。

我们在重复实验的过程中还计算了每一组实验的自有资本基尼系数和资本实力基尼系数。两个基尼系数呈现出明显的正相关关系。但是相关系数随着参与者增加、网络规模变大而不断减小。参与者人数为5时，资产基尼系数和资本实力基尼系数的相关系数均值为0.7；当参与者变为10时，相关系数均值下降到0.6；参与者为15时，相关系数均值进一步下降到0.5。这说明随着参与者人数增加、网络规模的增大，自有资本不平等对资本实力不平等的影响逐渐减弱。

图6-2　自有资本与资本实力的关系

6.3.4　“乐于助人”的社会效益

在这一部分中，我们改变函数f（c_ij）=的参数γ。γ可以反映参与者对其他成员的慷慨程度（热心程度）。在c_ij一定的情况下，γ越小，则f（c_ij）越大，也就是说参与者愿意为朋友提供更多的资金支持。换言之，γ越小，意味着网络中的参与者越慷慨。反之，则意味着参与者越吝啬。一个直觉就是，各个成员越慷慨，越愿意为替他人提供帮助，那么，各个参与者能够运用的资金量就越大。转换为模型的表述就是，γ越小，博弈均衡实现时各个参与者的u就越大。我们改变γ，重复数值实验，并且将结果描述在图6-3中。

图6-3　“乐于助人”的社会效应（参数γ的比较静态分析）

图6-3所展示的实验中，参与者人数均为5，预算约束全部与自有资本无关，且b_i==0.3。给定自有资本，当γ=1.5时，均衡状态下的资本实力最大；而γ=2.5时，均衡的资本实力最小。而且当γ=1.5时，参与者的均衡资本实力明显大于其他两种参数状态下的均衡资本实力。这说明，慷慨地帮助其他成员能够明显地提高社会总体资本实力。从这个角度来看，乐于助人的品质可以被理解为一种“社会资本”。这种品质在无形中提高了各个社会成员的资本实力，使他们可以更好地把握住机会。如果每个人都慷慨地帮助其他成员，那么最终每个人的福利都将得到增加，社会总体福利会有显著的改善。