3.1.1　基于EMD的去噪算法

经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）是针对时域信号提出的信号分析方法，其将信号分解为若干个本征模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF）分量，其代表了被分解信号的部分频率特征。从滤波的角度来看，经验模态分解过程相当于令信号通过不同的滤波器，获得信号所有的频率特征，通过筛选噪声信号将非噪声信号重新组合，达到去噪的目的。

1. EMD的基本原理和滤波特性

EMD认为每个被拆分的信号都由多个具有不同频率的信号组成，将这些信号集合就得到了IMF。IMF必须满足两个条件：①在完整的信号序列上，极值点的个数和过零点的个数相等或相差1个；②在任意点，由信号极大值和极小值确定的上下包络均值为0。

EMD分解流程如图3-1所示。

可以将信号x(n)拆分为n个IMF分量和1个余项，即

式中，IMF分量Ci(n)包含信号的不同频率成分，其频率从高到低，r(n)代表中心趋势。经验模态分解方法还具有完备性、正交性与自适应性等特点。

时域信号波形如图3-2所示。分解结果如图3-3所示。

由图3-3可知，经验模态分解得到10个IMF分量，其中阶数小的IMF分量对应信号的高频成分，主要包含信号的尖锐部分和噪声；阶数大的IMF分量对应信号的低频成分，主要包含有用信号和少量低频噪声分量。

传统的去噪方法将IMF分量中阶数较小的部分（信号的高频分量）直接滤除，该方法的效果一般且有可能将有用信号滤除。EMD将信号分解为多个频率从高到低的IMF分量，其频率关系为：第1个IMF分量含有最高瞬时频率成分，第i个IMF分量的瞬时频率几乎为第（i+1）个IMF分量瞬时频率的两倍，这体现出了多尺度的自适应滤波特性。与原始信号相比，每个IMF分量都是平稳的窄带信号，可以根据信号的特点，有目的的将部分IMF分量组合，突出原始信号在某特定频率范围内的特点，以此构建新的滤波器。因此，差频信号去噪思想为通过EMD得到多个IMF分量，并将对有用信号贡献较大的IMF分量重构，以减小干扰因素的影响，提高信噪比。

2. 基于自相关函数能量特性的EMD去噪算法

布德拉等研究了一种基于连续均方误差准则的EMD去噪算法，将每个IMF分量的能量变化曲线的全局极小值点作为有用信号主导模态和噪声主导模态的分界点。该算法在一定程度上提高了EMD去噪能力。当信噪比较高时，其效果较好；当信噪比较低时，其性能不是很稳定，甚至可能找不准IMF分量的全局极小值，使该去噪算法完全失去意义。

王婷等研究了一种基于自相关函数特性的EMD去噪算法，该算法利用有用信号与噪声信号的自相关函数的分布特征，判定EMD去噪算法中自适应滤波器的截止阶数，该算法的去噪效果较好，且不受信噪比限制。但该算法通过观察每个IMF分量的自相关函数的分布特点来决定截止阶数，不够直接。相关函数是信号时域特性中的一种平均度量，代表不同信号在不同时刻的相似程度。基于时间平均的自相关函数为

式中，m表示两路信号的时延。为了保证自相关函数序列长度与信号x(n)的长度一致，时延m应满足

序列能量为

根据式（3-2）分别计算随机噪声的自相关函数和含有两个正弦分量的一般信号的自相关函数。随机噪声及其自相关函数的时域分布如图3-4所示。随机噪声的关联性弱且随机性强，导致其自相关函数在零点处取得最大值，在其他点处的自相关结果非常小。以正弦信号为例，一般信号及其自相关函数的时域分布如图3-5所示。自相关函数在零点处没有迅速衰减到较小的值，而是随着时间差的变化而变化。如果一般信号是周期信号，其自相关函数也是周期信号，其变化规律明显与随机噪声的自相关函数的变化规律有很大区别。

随机噪声及其自相关函数与一般信号及其自相关函数的能量对比如表3-1所示。在随机噪声和一般信号能量相差不大的情况下，随机噪声的自相关函数的能量远远低于一般信号的自相关函数的能量。

Wu和Huang等研究发现，白噪声在EMD算法下具有一定的统计特性。对白噪声进行经验模态分解后得到的IMF分量都满足正态分布，虽然对高斯白噪声进行经验模态分解后得到的IMF分量已经不是实际意义上的白噪声，但其统计被保留下来，也就是说其自相关函数在零点处最大，在其他点处快速衰减为零，与原始的高斯白噪声的自相关函数具有相同的分布特点。下面对含有高斯白噪声的差频信号进行经验模态分解，得到各IMF分量的自相关函数如图3-6所示。由图3-6可知，IMF分量的前3阶主要包含随机噪声的高频部分，第4阶主要包含有用信号，后6阶主要包含随机噪声的低频部分。

各IMF分量自相关函数的能量变化曲线如图3-7所示。由图3-7可知，第4阶IMF分量的自相关函数的能量最大，这与图3-6的结果相同，第4阶主要包含有用信号。通过图3-7可以更直接、准确地找到信号模态与噪声模态的分界点。噪声模态与信号模态的分界点就是各IMF分量自相关函数能量变化曲线中最大值所在的位置im。

因为第1阶IMF分量包含的频率成分最多，所以其随机噪声能量最大，第2阶IMF分量包含的频率成分是第1阶的一半，如果第2阶IMF分量也以随机噪声为主导，则其能量将大幅减小。因此，在信噪比较低时，可能出现第1阶IMF分量的自相关函数的能量大于主要包含有用信号的IMF分量的能量的情况。在信噪比较低的情况下，各IMF分量自相关函数的能量变化曲线如图3-8所示。在这种情况下，应根据从第2阶到最后一阶IMF分量自相关函数能量变化曲线的最大值位置im，确定主要包含有用信号的IMF分量。

时域信号为中频信号，应采用带通滤波器重构信号。因为第im-1阶和第im+1阶IMF分量可能包含时域信号的有用信号，所以应采用第im-1阶、第im阶和第im+1阶IMF分量重构信号。其中，第im-1阶IMF分量以噪声为主导，应对其进行软阈值去噪

式中，λ为第im-1阶IMF分量的阈值，计算公式为

式中，media()是对一个向量取绝对中值的函数。

基于自相关函数能量特性的EMD去噪算法的计算步骤如下。

（1）对输入信号进行本征模态分解，得到N个本征模态分量。

（2）分别计算各IMF分量的无偏自相关函数和自相关函数的能量。

（3）根据各IMF分量自相关函数的能量变化曲线，从第2阶开始寻找其最大值对应的位置，进一步寻找有用信号对应的本征模态分量阶数。

（4）对第im-1阶IMF分量进行软阈值去噪。

（5）重构信号。

3. 仿真和分析

将正弦信号s(n)加入随机分布的高斯白噪声，得到y(n)，设置信噪比为SNR=-5dB，采用基于自相关函数能量特性的EMD去噪算法，用信噪比（SNR）和均方根误差（RMSE）评价去噪效果。

输出信号的信噪比为

输出信号的均方根误差为

信号去噪前与去噪后的时域分布对比如图3-9所示。信号去噪前与去噪后的信噪比及均方根误差如表3-2所示。

根据结果可以看出，基于自相关函数能量特性的EMD去噪算法十分有效，可以在保留原始信号的有效信息的前提下对信号进行滤波。