3.4　存储系统的数学建模

存储系统，亦称库存系统，是离散事件系统仿真要研究的另一类重要系统。它不仅包括一般意义下的存储系统，如原材料仓库库存、商品仓库库存及水库库存水量的管理和控制，还包括人才储备、经济管理等广义存储系统。

3.4.1　基本概念

“需求”和“订货”是存储系统两个最基本的概念，它们的变化能引起描述存储系统状态的存储量发生变化。由于有了存储系统的需求，使得库存量减少，而有了存储系统的订货，才使得存储量得到补充，所以“需求”与“订货”和排队系统中的“到达”与“服务”的作用是类似的，正是需求与订货的不断发生，才使得存储量呈现动态变化过程。

根据需求与订货的规律，可将存储系统分为两大类：确定型存储系统和随机型存储系统。在确定型存储系统中，需求量、需求发生时间是确定的，订货与订货发生时间也是确定的，而且从订货到货物入库的时间都是确定的。随机型存储系统比确定型存储系统复杂得多。首先，需求发生时间可能是随机的，每次需求量也可能是随机的；另外，订货时间及订货量也可能是随机的，即使它们是确定的，从订货到货物入库的时间也可能是随机的。

研究存储系统的目的一般是要确定或比较各种存储策略，包括在不同的需求情况下何时订货、订多少货为宜等。衡量存储策略优劣的尺度是采用此策略后在管理上所需的费用，它包括以下内容：

（1）存储费：指设备、人力、货物保存、损坏变质等支出费用，一般可折算成每件每日费用或每件每月费用等。

（2）订货费：指货物本身的费用，如订货手续费、运输费等。

（3）缺货损失费：指货物不足造成供不应求，错过销售机会或停工待料等造成的损失。

3.4.2　数学建模方法

在存储问题上，建模的目标通常是使订货与存储费用之和最小。具体解决应该何时订货和订货量为多少的问题。

3.4.2.1　确定型存储系统模型

确定型存储系统模型分为两种情况，即不允许缺货和允许缺货。假定库存的需求率为R，订货费用为，货物的存储费为，订货周期为T，订货量。

1．确定型需求，不允许缺货，并且订货无滞后

具体订货策略是：货物用完后可以及时补充，不需要提前订货，货物随订随到。

该模型建立过程如下：

（1）确定费用函数。由假定已知得到：T时间的平均订货费为，T时间的平均存储量为，其平均存储费用为。由此得到T时间内的总平均费用是

（2）制定最优存储策略。求T使最小，利用得到

式（3.45）表明订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大；存储费越高，则每次订货批量应越小。

2．确定型需求，不允许缺货，但订货滞后

如果从订货点开始的一段时间内，一方面按一定进度入库（设为订货每天入库的数量），另一方面按生产需要出库（设为订货在入库期内每天出库的数量，）。

T时间内的平均存储量为，得到T时间内的总平均费用为

通过求解，可得最优订货周期为

最佳订货量为

3．确定型需求，允许缺货

确定型需求，允许缺货时存储量的变化如图3.9所示。由图可见，在期间，需要支付全部存储费；而在期间存储量，需要支付短缺损失费。若以表示单位缺货损失费，则在一个订货周期T内的总费用为

则平均每天费用为

为实现最优策略，现求最小的T和Q，于是，由和，求出

3.4.2.2　随机型存储系统模型

在多数情况下，存储系统模型中的参数不是固定不变的变量。例如，某种商品在一天的销量就不是确定的，通过历史资料的统计可知它服从一定的分布率，针对这样的参数应当采用随机变量描述。

1．单周期随机存储模型

假设在整个需求期内只订购一次货物，订购量为Q，订购费和初始库存量均为0，每单位产品的成本为C。需求量X为一连续型随机变量，其概率密度为f(x)。当货物售出时，每单位产品的售价为U。当需求期结束时，没有卖出的货物不存储而折价卖出，单位售价为V(V<U)，试求订购量Q，以求期望利润最大。

在解决上述问题时，若需求量X=x，其售出货物数量取决于需求量x和订购量Q，即售出货物数量为

此时期望利润F为需求量x和订购量Q的函数，即

实际上，X为随机变量，故对于给定的Q，其期望利润为

为求最优订购量Q，对上式求关于Q的一阶导数和二阶导数，可得

可转化为

综合上述两式可知，Q具有最大的期望利润。

2．多周期随机存储模型

多周期随机存储模型是考虑了时间因素的随机动态存储模型，它与单周期随机存储模型的不同之处在于，每个周期的期末库存对下一周期仍然有用。多周期随机存储模型常常有连续性盘点和周期性盘点两种检测方式，订购策略常常采用（s,S）策略，s为订货点，S为库存水平。在滞后时间间隔内，由于外界仍然有需求，库存量将继续下降，甚至可能缺货。对于缺货情形有两种处理方式：缺货预约处理方式和缺货不供应处理方式。

假设考虑周期性盘点的检测，采用缺货不供应处理方式来分析多周期随机存储模型。每次订购费为K，货物单价为C，其滞后时间为0。在每个周期内的需求量X为离散型随机变量，其概率分布列为，单件货物的存储费为h。在每个周期内，若发生缺货，采用缺货不供应处理方式，但单件缺货损失费为，故所耗费的总费用包括订货费、存储费和缺货损失费。

设订货量为Z，则订货费为

式中，K为订货费，C为货物单价。

设订货量与原有库存量之和为y，单件存储费用为h，由于需求量X是随机变量，因此存储费用也是随机变量。设存储费用为，则

存储费用的期望值为

缺货损失费用也是一个随机变量，设缺货损失费用为，则

缺货损失费用的期望值为

记，考虑采用（i,y）策略，于是当初始库存为i时，总费用函数为

使达到最小的y，便是最优库存水平。

令

先求最优存储策略中的库存水平S，可以假设上式中的最小值不等于L(i)，否则因y=i就不需要订货了，于是问题变为求y使Cy+L(y)达到极小。

由于Cy和L(y)都是凸函数（证明略），凸函数之和仍然是凸函数，故Cy+L(y)为凸函数，应存在一个全局极小值。

设y=S是Cy+L(y)的极小值点，即

则必有

即

由前面证明可知

故有

因而存储水平S应取满足上述不等式的最小正整数，然后再来求订货点s，由于在（s,S）策略意义下，当初始库存量i=s时，由假设应不订货，可得y=s，此时总费用为L(s)。L(s)应小于y=S时的总费用K+C(S-s)+L(S)，此时订货量为（S-s），即

当初始库存量i<s时应订货，在上面不等式中，若让s再减小1，则不等式将反号。因此，最佳订货点s是使上面不等式成立的最小正整数。