2.1 LMT的数学物理基础

LMT是宽频带MT技术的补充和扩展，是指观测信号的频率范围在低频段扩展到n ×10⁴ s时的大地电磁测深技术，满足Maxwell方程组：

B =μ H , j=σE,D=εE

式中，ε、μ和σ分别为介质的介电常数、磁导率和电导率；E 为电场强度；B 为磁感应强度或磁通密度；D 为电通量密度或电位移矢量；H 为磁场矢量。

式（2-2）两边取旋度，并用μH代替B ，可得

将式（2-1）代入式（2-5），有

利用矢量恒等式及式（2-3），式（2-6）左端为

式（2-6）简化为

式（2-8）称为电场的波动方程式。

对磁场矢量，同样有

取时间因子为e^-iωt，式（2-8）简化为

对磁场矢量，同样有

式（2-10）和式（2-11）中，▽²为拉普拉斯算符，ω为圆频率（角频率）。以上两式是谐变电磁场频率域的波动方程，也称为电场和磁场的亥姆霍兹方程。μεω² 表示位移电流的作用，μσω表示传导电流的作用。研究表明，当频率小于10⁵ Hz时，对大地介质来讲，μεω² <<μσω，即在大地电磁方法中，相对于传导电流，位移电流的影响可以忽略。得到电场和磁场的扩散方程形式：

从Maxwell方程组出发，得到了电磁场的扩散方程。同热传导过程类似，电磁场的扩散作用也依赖时间（周期）。在大地电磁测深中，把地球内部的电磁感应现象对扩散周期的依赖称为“趋肤效应”，通常把取决于有效信号周期的电磁波穿透深度称为“趋肤深度”（波在地下介质传播中振幅衰减到地面振幅的1/e的深度），即趋肤深度可以由式（2-14）给出：

式中， p (T )为周期为T的电磁波的趋肤深度；为电磁波通过的介质的平均电导率。

从能量的观点看，电磁场在地下导电空间的传播过程，必然伴随“能量”的损耗，使电磁场的振幅随传播距离衰减，相位也随之改变。当电磁场为谐变场时，其趋肤深度和波长都与岩石的视电阻率成正比，与电磁场的频率成反比；这就意味着电磁场对地球的探测深度与频率及地球内部的电性结构有关，频率不同的电磁场，探测深度不同。在岩石导电性一定的条件下，电磁场的频率越高，探测深度越小；反之，探测深度越大。而对于频率一定的电磁场，当地下岩石的视电阻率越高，其探测深度越大；反之，探测深度则越小；当测量的大地电磁信号低频达到n × 10^-4 Hz时，其探测深度可达到下地壳及上地幔。