第三节 最优化

在经济学中，经常要碰到效用最大化、成本最小化、利润最大化等问题，这些问题都是要求极（最）大值或极（最）小值，统统都可以归结为最优化问题。现在我们就来学习一些基本的最优化的方法。

一、无约束的最优化

（一）一元函数的最优化

一元函数的最优化问题比较简单，但对后面的最优化问题有很强的启示，我们先讨论最大化问题max y=f（x）。

我们知道，当上式实现最大化时，必须满足一阶条件和二阶条件，一阶条件是必要条件，二阶条件是充分条件。

一阶条件：当x*为最优解时，有f′（x*）=0

二阶条件：当x为x*时，d2y＜0，即f″（x*）＜0

f″（x）＜0实际上要求函数为凹函数。

对于最小化问题min y=f（x）。

一阶条件：当x*为最优解时，有f′（x*）=0

二阶条件：当x为x*时，d2y＞0，即f″（x*）＞0

f″（x）＞0实际上要求函数为凸函数。

（二）二元函数的最优化

对于最大化问题max y=f（x1, x2）。

一阶条件：当为最优解时，有

二阶条件：当x为时，有f11＜0且

现在来证明二阶条件：

当满足一阶条件时，并不一定能实现y的最大化，必须要满足二阶条件才能使y取得最大值，二阶条件的要求是。

要d2y＜0，就必须要有

即

因为，所以二阶条件也可以写成

在经济学中，被称为海塞行列式，用H表示。

对于最小化问题min y=f（x1, x2）。

一阶条件：当为最优解时，有

二阶条件：当x为时，有f11＞0且，或者

（三）函数的凹凸性

当函数为凹函数时，函数可以取得最大值；当函数为凸函数时，函数可以取得最小值，如图1-2所示。

现在我们就给出函数凹凸性的定义：

函数y=f（x1, x2）

定义1：对于任意两点和，

如果，那么f（x1, x2）为凹函数。

如果，那么f（x1, x2）为凸函数。

其中，θ∈[0,1]。当不等号严格成立时，称f（x1, x2）为严格凹（凸）函数。

从图形上看，当曲线上任意两点的连线都在曲线的下方时，函数为凹函数；当曲线上任意两点的连线都在曲线的上方时，函数为凸函数，如图1-3所示。

定义2：当函数y=f（x1, x2）可导时，

若f11≤0且≥0，则f（x1, x2）为凹函数，不等号严格成立，则为严格凹函数。

若f11≥0且，则f（x1, x2）为凸函数，不等号严格成立，则为严格凸函数。

比较这个定义和前面最优化问题的二阶条件，我们就可以看到，当函数为严格凹（凸）函数时，函数就自动满足了最大（小）值的二阶条件了。

（四）带参变量的最优化及包络定理

现在要求的最大化问题为max y=f（x1, x2, a），其中a为参数。

根据一阶条件有

∂f（x1, x2, a）/∂x1=0

∂f（x1, x2, a）/∂x2=0

由上两式可以求解得

把最优解代入目标函数，得

从上式得知最优值实际上是参数a的函数，即y*=y*（a），我们把这个函数称为值函数。现在我们想看看参数a的变化对值函数的影响，即求dy*/da。

由一阶条件可知，前两项为0，则

这说明值函数对参变量求导就等于原函数直接对参变量求导，这就是所谓的包络定理。包络定理在今后的章节中大量运用，可以大大简化我们的运算。

二、等式约束下的最优化

（一）一般情形

很大一部分经济学中的最优化问题是有约束条件的最优化问题，特别是等式约束下的最优化非常普遍。本部分探讨求解等式约束下的最优化的方法和需要满足的条件，不给出过多的证明。

等式约束下的最大化问题的一般形式为

max y=f（x1, x2）

s. t. g（x1, x2）=c

求解这个问题的一般方法为拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数

L=f（x1, x2）+λ[c-g（x1, x2）]

一阶条件为

∂L/∂x1=f1-λg1=0

∂L/∂x2=f2-λg2=0

∂L/∂λ=c-g（x1, x2）=0

前面两个等式可以合为一个，即

f1/g1=f2/g2=λ

二阶条件为

我们把称为加边的海塞行列式。

对于等式约束下的最小化问题：

min y=f（x1, x2）

s. t. g（x1, x2）=c

构造拉格朗日函数

L=f（x1, x2）+λ[c-g（x1, x2）]

一阶条件为

∂L/∂x1=f1-λg1=0

∂L/∂x2=f2-λg2=0

∂L/∂λ=c-g（x1, x2）=0

二阶条件为加边的海塞行列式小于0，即H-＜0。

（二）线性约束

接下来，我们讨论等式约束中的一种特殊情形——线性约束。于是，最优化的问题就转化为：

max y= f（x1, x2）

s. t. ax1+bx2=c

构造拉格朗日函数：

L= f（x1, x2）+λ（c-ax1-bx2）

一阶条件为

∂L/∂x1= f1-λa=0，即a= f1/λ

∂L/∂x2= f2-λb=0，即b= f2/λ

∂L /∂λ= c-ax1-bx2=0

根据前面的讨论可得，二阶条件要求加边海塞行列式大于零，即

最终要求

从上述的一阶条件和二阶条件可知，在线性等式约束条件下，目标函数y=f（x1,x2）要取得极大值，很大程度上取决于目标函数的性质，即要求2f12f1f2-。而满足这一要求的函数我们称为严格的拟凹函数。如果2f12f1f2-，则函数为拟凹函数。拟凹函数又称为准凹函数，是类似于凹函数的函数。实际上，凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。

拟凹函数在经济学中有广泛的运用，对于它的具体经济学含义，我们今后在讨论具体的经济学问题的时候再介绍。