1.2 非定常湍流数值模拟方法

1.2.1 控制方程

流体运动遵循物理学三大守恒定律：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。这三大定律的数学描述构成了流体力学的基本方程组，即Navier-Stokes（N-S）方程组。在不计质量力、不计外部热源，并在笛卡儿坐标系下，守恒形式的N-S方程可以表示为：

式中，

其中应力项：

热传导项：

单位质量气体的总能量为：

为了使N-S方程封闭，还需要补充下述关系式：

完全气体状态方程：p=ρRT, h=cpT（cp为等压比热）。

当求解域的形状比较复杂时，为了计算方便，同时便于处理边界条件，计算流体力学方法通常在曲线坐标系中实施。因此，有必要得到曲线坐标系中流体力学基本方程的形式，引入如下的坐标变换：

J代表坐标变换Jacobian行列式：

由于在计算域中（即曲线坐标系下）的单元均为边长为1的正方体，故J值等于直角坐标系下单元体积的倒数。即：

根据链式求导法则有：

同时引进特征长度L及自由来流参数（即声速c∞、温度T∞、黏性系数μ∞、密度ρ∞）作为特征变量，则得到曲线坐标系下无量纲形式的流动控制方程组：

式中，

应力黏性项中应力在曲线坐标系中变为：

热传导项变为：

定义无黏通量Jacobian系数矩阵：

系数矩阵A、B、C也有统一的形式，即：

其中：Ut=, Vc=ukx+vky+wkz，为逆变速度；k取ξ、η、ζ，

分别对应于Jacobian系数矩阵A、B、C; c为当地声速。

Jacobian系数矩阵A、B、C的特征值为：

定义Jacobian系数矩阵A、B、C的谱半径为：

式中，U、V、W分别为三个方向的逆变速度。

1.2.2 大涡模拟方法

大涡模拟基本思想是：对于受边界条件影响较大的大尺度运动（大涡结构），进行直接数值模拟；而对于具有较多普适性的小尺度湍流结构，则通过构造亚格子模型进行模化。由于对于小尺度结构直接采用模型来模拟其对大尺度运动的影响，因此大涡模拟的计算量比直接数值模拟方法要小很多。大涡模拟一般要求其滤波尺度处于所谓的惯性子区[37]，对于空间的高雷诺数自由湍流，其惯性子区通常只比其积分尺度小一个量级，这就意味着大涡模拟的过滤尺度只要比积分尺度小一个量级就可以对自由湍流的模拟做到网格量与雷诺数无关。而DNS对于模拟同样的问题所需要的网格量随雷诺数的增加而呈指数增长。

大涡模拟方法能够准确、高效地处理空间自由湍流，如自由剪切层混合、自由射流，以及大分离的尾迹区，这些RANS方法难以处理的空间自由剪切湍流流动是大涡模拟的优势所在。因此对于大涡模拟的研究极大地改善了CFD对燃烧、飞行器大攻角非定常分离以及钝体绕流等工程问题的模拟精度。同时，由于大涡模拟提供了流场的大尺度脉动信息，因而成为研究流动噪声、流固耦合等问题的新手段。

早在1963年，美国国家大气研究中心的气象学家J. Smagorinsky将大涡模拟应用到气象预测中[38]，并在这个开创性工作中提出了后来以他名字命名的亚格子应力（Sub-Grid Stress, SGS）模型。1973年起，由美国Stanford大学和NASA Ames研究中心联合成立的研究小组对大涡模拟进行了系统的研究，他们的工作极大地促进了大涡模拟的发展[39]。然而由于对计算机的发展过于乐观，20世纪80年代，大多数研究者将目光从LES转向DNS，直到90年代，人们的研究重点又重新回到LES，并发展出更多的亚格子模型，这些模型基于不同的出发点，大致可以分为两类：唯象论模型和结构型模型。

唯象论的亚格子涡黏性模型假定小尺度脉动是局部平衡的，由可解尺度向不可解尺度的能量传输率等于湍动能的耗散率，即在湍流统计理论和量纲分析的基础上导出公式，并由试验结果或者经验确定相关常数。前文提到的Smagorinsky模型即是最早的亚格子涡黏性模型，也是唯象论模型的典型代表：

式中，μLES=ρ（CsΔ）2（为亚格子涡黏系数，CsΔ相当于混合长度，Cs称为Smagorinsky常数，Δ为滤波尺度，一般为x、y、z三方向网格间距的几何平均，即Δ=。

该模型构造简单，计算量小，鲁棒性好，因此受到研究者的推崇并得到进一步发展。Poimelli[40]、Moin[41]等人针对Smagorinsky亚格子模型在壁面附近耗散过大的缺点，引入对滤波尺度的Van Driest阻尼函数；为使该模型适用于高马赫数流动，Yoshizawa[42]、Moin[43]和Vreman[44]等人提出了可压缩修正项。虽然直至今日，Smagorinsky模型依然是最重要和使用最广泛的SGS模型，但应当指出的是，对于不同类型的湍流流动，Smagorinsky常数取值通常不同，与具体流动有关也是该模型的缺陷之一。为此，1991年，Germano[45]提出了动力Smagorinsky模型，通过局部自相似假设，将两个不同尺度的亚格子应力模型联系起来，得到在计算过程中动态决定模型系数的方法。为了克服动力模型进行系综平均计算量过大的缺点，Meneveau[46]等人提出沿质点轨迹的Lagragian平均法，适合复杂湍流中应用动态模型。Salvetti[47]等人进一步提出了动力双系数模型。国内方面，李家春[48]等人在湍动能模型和结构函数模型的基础上，发展了TSF亚格子模型，旨在处理既有对流，又有强剪切的湍流流动，并研究了环境流动问题。刘宁宇、陆夕云[49]等人在Yall模型的基础上，发展了一种适用于热分层湍流的半动力学亚格子尺度模型。

唯象论模型建立在局部各向同性湍流的唯象论湍动能传输理论上，它以可解尺度向亚格子尺度传输湍动能与亚格子耗散的局部平衡机制为基础，是耗散性模型，总体上符合湍流输运的性质，所以在数值计算上容易稳定。它并不总能反映局部能量输运的各种性质，比如在接近过滤尺度附近存在局部能量反向传递，好在逆级串是总的湍动能输运的小量，所以耗散性模型可以用于工程计算，但对于湍流的机理研究中，唯象论模型是不理想的[50]。

结构型模型采用了另外一种思路，使用亚格子脉动的信息建立模型，这使得结构型模型尽可能摆脱唯象论模型的人为因素，较有代表性的有Bardina尺度相似模型[51], Liu-Meneveau-Katz模型[52]等。而研究者在实际计算中发现尺度相似模型的亚格子湍动能耗散严重不足，因此把尺度相似模型和亚格子涡黏模型进行线性组合，混合模型[53]自然应运而生。此外，ADM逆卷积模型[54]、多尺度模型、线性随机估计模型，以及国内崔桂香、张兆顺推导的理性亚格子模型[55]等也具有较大的影响力。

与RANS类似，LES也有一方程模型、二方程模型等多方程模型[56]，遗憾的是这些模型并未显示出比简单涡黏性模型有显著的改进，更重要的是，在LES网格增加巨大的代价下，复杂模型不符合我们对于SGS模型简单普适的期望，因此这类模型引起的关注度不高，而且大多数较为复杂的模型只有发明者在使用和研究[57]。

目前LES方法已被广泛地应用到流动机理研究以及简单外形的工程计算当中[58][59]。但对于工程中经常遇到的壁湍流问题，理想的大涡模拟遭遇困境。由于壁面附近的湍流是各向异性的，不存在局部各向同性的状态，特别是垂直于壁面方向，脉动尺度很小，很难区分“大涡”和“小涡”。如果按照前面所述的LES理念，在近壁区需要直接数值模拟的网格。曾有人估计，在中等雷诺数条件下，需要大约70%的网格位于只占10%计算域的近壁区中，这显然已经脱离了大涡模拟的宗旨。因此针对存在壁湍流的流动问题，人们提出各种LES方法的近壁模型以及后来的RANS/LES混合方法。

1.2.2.1 滤波概念简介

实现大涡模拟的第一步是把小尺度脉动过滤掉。LES使用滤波函数，通过低通过滤去除小尺度不规则脉动量的影响，留下可解的大尺度物理量。LES的滤波函数常被形象地称为滤波器，目前常见的均匀滤波器有谱空间的低通滤波器、物理空间的盒式滤波器（也称为Tophat）和高斯滤波器[60]。表1.1给出了三个经典滤波算子的核函数以及传递函数（设滤波宽度为）[57]。

其中，谱截断滤波［Spectral（Sharp Cutoff）］算子在谱空间中是局部的，能够清楚地区分大尺度和小尺度（所有波长小于2π/kc=的模式都被滤掉，这里kc=是截断波数），但在物理空间中不是局部的，滤波的结果涉及较远处的量。盒式滤波［Box（Tophat）］算子在物理空间是局部的，但在谱空间中不是局部的，滤波的结果仍然包含高频部分。高斯滤波（Gaussian）算子则在物理空间和谱空间中都是局部的。实际应用中，谱截断滤波通常在谱空间中实现，只要将波数大于截断波数kc=的模式清零就可以了。盒式滤波和高斯滤波在物理空间实现时，实际的离散滤波算子的形状和滤波宽度与对应的解析滤波算子有所不同。

均匀滤波器的条件过于苛刻，除了均匀湍流的LES计算之外，实际问题中难以采用，因此绝大多数LES方法都采用非均匀滤波器。然而，当采用非均匀滤波器时，与非均匀计算网格相关联的非均匀滤波算子与微分运算之间不可交换，会导致LES的方程十分复杂，而假设两者可以交换就会引入交换误差，其中一种解决方案是设计满足一定要求的低通滤波算子，使得交换误差不大于所采用空间离散格式的截断误差[58]。

相对于采用明显滤波函数的显式滤波，采用网格尺度作为过滤尺度的方法也称为隐式滤波，隐式滤波在LES中较为常用，本节主要介绍采用隐式滤波的LES方法，并假设过滤过程和求导过程可以交换。

1.2.2.2 大涡模拟的控制方程

低通过滤后，湍流速度可以分解为低通脉动和剩余脉动之和

由LES方法直接求解得出，因此称为可解尺度脉动；剩余脉动称为不可解尺度脉动或亚格子尺度脉动。

由于假定过滤过程和求导过程可以交换，将N-S方程作过滤，得到如下方程：

令，并称-（）为亚格子应力，则式（1.12）可写作：

右端含有不封闭项

称为亚格子应力。和雷诺应力相仿，亚格子应力是过滤掉的小尺度脉动和可解尺度湍流间的动量输运。要实现大涡数值模拟，必须构造亚格子应力的封闭模式。

1.2.2.3 常用的亚格子模型

1．Smagorinsky模型

Smagorinsky模型是20世纪60年代由气象学家J. Smagorinsky[38]与湍流大涡模拟方法一起提出的，至今仍然是最广泛采用的亚格子应力模型。该模型类比于分子运动的黏性效应，用所谓涡黏性模型来表示亚滤波尺度运动对滤波可分辨尺度运动的影响：

这里是滤波可分辨尺度应变率张量，亚格子涡黏性系数记为：

1967年，气象学家D. K. Lilly[61]针对充分发展的各向同性湍流，应用Kolmogorov-5/3律求出了Smagorinsky模型参数Cs的理论值：

由于CK=1.4是Kolmogorov常数，于是Cs≈0.18。

Deardoff[62]建议采用当量体积Δ=（ΔxΔyΔz）1/3作为过滤尺度，适用于偏离各向同性不大的情况，为进一步适应非均匀网格，Scottia和Meneveau[63]引入了各向异性修正，使用计算网格特征长度Δ作为滤波尺度，规定了网格长细比函数：。

式中，两个最小的长细比a1=Δi /Δmax, a2=Δj/Δmax, Δmax=max（Δx, Δy, Δz）, Δi和Δj表示除了Δmax之外另外的两边。Ragab和Sheen[64]建议使用

实际使用中发现，Smagorinsky模型的主要缺点是耗散过大，尤其在近壁区和层流到湍流的过渡阶段。在近壁区，湍流脉动等于零，亚格子应力也应当等于零。但是式（1.16）给出了壁面亚格子应力等于有限值，这显然和物理实际不符。为了克服这一缺点，可以借用RANS涡黏性模式中的壁函数或低雷诺数修正。一种简单的修正方法是在亚格子涡黏性系数表示式（1.17）中加入近壁阻尼公式，即：

式中，f（y+）=CsΔ[1-exp（-y+/A+）], A+=26。

2．动力Smagorinsky模型

针对Smagorinsky模型在层流及过渡流动中耗散过大的缺点，人们又提出了动力Smagorinsky模型，即采用动态方式确定Smagorinsky模型系数。

动力模式方法需要对湍流场进行多次过滤，以二次过滤为例[60]，在计算网格尺度Δ上的过滤结果用上标“～”表示，相应的亚格子应力用表示，。在试验网格αΔ（α＞1）上再做一次过滤的结果用上标“—”表示，相应的亚格子应力用表示为：

Germano[45]假定：

式（1.22）称为Germano等式。该式的物理意义是二次过滤后的亚格子应力等于粗、细网格上的亚格子应力差。Germano假定的思想类似于尺度相似模式，试验网格上过滤的亚格子应力是由粗网格［α（α＞1）］上的最小脉动产生，假定粗、细网格中湍流脉动具有相似性，由粗网格上的最小脉动产生的应力等于粗细网格分别过滤产生的亚格子应力之差。注意到Germano等式的左边Li j（x, t）=是已知量，只要在计算出的一次过滤结果上再做一次过滤运算就可以获得。如果在式（1.22）右边用Smagorinsky模式代入，最后得到以下公式：

式中，

假设大涡数值模拟的网格Δ和αΔ都足够细，模式系数和网格无关，即，另有，得

式（1.23）中Lij、Mij都是已知量，只有一个未知量。该式中有5个独立代数方程［在不可压缩流体中Mii=0，因此式（1.23）做张量收缩后是恒等式］，所以式（1.23）是超定的。

为克服超定性，Germano使用乘式（1.23），然后在统计均匀方向做平均，得

3．Vreman模型[65]

同样作为亚格子涡黏性模型，Vreman模型的构成与式（1.16）一致，不同的是对于涡黏性系数的模化：

式中，c=,Cs表示Smagorinsky常数，Cs=0.17，其他各项意义为：

该模型的构造元素主要是速度的一阶导数，不含任何显式的滤波，并且在各向同性滤波尺度下是坐标旋转不变的。从形式上看，它并不比Smagorinsky涡黏性模型更复杂，计算精度却总是高于Smagorinsky涡黏性模型，与标准动力Smagorinsky亚格子模型接近，并且能用于转捩流动的计算。由于初始模型是对于不可压流动推导的，在一维流动中模型成为0，产生了无法耗散激波的问题。因此Vreman在Bβ中引入了最后一项表示可压缩修正[66]，即将Bβ修正为：

式中，Δ=。

这样对于一维超声速流动，进行了将可压缩修正的模型退化成Smagorinsky涡黏性模型。对于超声速流动，建议取c=0.07和cc=0.1。该模型简单、鲁棒性好而且不需要壁面修正，Vreman计算的槽道结果与动力Smagorinsky模型接近，但避免了动力模型中二次滤波的烦琐，适合在实际问题中应用。

1.2.3 RANS/LES混合方法

介于RANS和LES各自存在的优势和局限性，控制方程的形式也高度相似，研究者自然想到，如果能有方法使两者有机结合，取长补短，就可以有效实现计算精度和效率的统一。近年来兴起的RANS/LES混合方法[67]就是这种统一的体现：采用RANS高效且可靠的模拟小尺度运动占主导地位的近壁区域，用LES直接计算大尺度运动占优的分离区域[68]。RANS/LES混合方法对传统RANS感到棘手的大尺度分离问题特别有效，其网格需求量远小于理想的LES，仅略大于三维的RANS，并且对于耗散大的数值格式也能够给出令人满意的结果，为实际问题提供了解决之道，因此自问世起就受到国内外湍流研究界的广泛关注，引发了RANS/LES混合方法的研究热潮，也受到一些国家的高度重视，如欧盟发起了连续三期资助RANS/LES混合方法发展的项目：FLOMANIA（2001—2003）[69]、DESider（2004—2007）[3]、ATTAC（2009—2011）[70]。

这种混合方法大致可分为两类[71]，一类是以Speziale[72]、Fan[73]、Georgiadis[74]等人为代表，针对现有的LES亚格子模型的缺陷提出的RANS/LES混合方法。这类方法种类较多，主要区别在于RANS和LES求解区域过渡所使用的交界面函数，以Speziale提出的混合方法为例：

式中，Lk为Kolmogorov长度尺度，一般由所使用的RANS的长度尺度来决定；Δ为网格间距，为RANS模型模化的雷诺应力；β和n为模型参数；[1-exp（-βΔ/L ）]nk为阻尼函数，使得粗网格处的RANS模化应力可以恢复。

而Fan[73]及Kawai[75]等人则使用了更直观的RANS/LES处理方法：在流场近壁处利用RANS湍流模型计算，而边界层外的复杂湍流利用LES计算，通过以壁面距离为变量的RANS/LES交界面混合函数实现光滑过渡，RANS的相关项和LES的亚格子尺度项通过混合函数做加权平均，实现了从RANS到LES区域的光滑过渡，以Kawai提出的交界面函数为例：

式中，η=dwall/dblend, dwall是网格点到壁面的最小距离，dblend是指定的混合边界位置；C1和C2是指定的常数。更多的混合函数参见文献［71］。大多数这类方法都是区域性的，即计算之前先用定常的RANS求解出大约的边界层位置，即确定dblend，然后再进行非定常计算，难以应用到复杂外形[76]。

另一类混合方法中RANS和LES求解区域具有明确的边界，其中应用最为广泛的是Spalart等人[77]对于大分离流动倡导的脱体涡模拟（Detached Eddy Simulation, SA-DES）方法，该方法将原始的SA湍流模型的长度尺度表述为原长度尺度和网格间距的函数：

如Travin所述[78]，此时在流动附体区域，SA-DES表现为RANS模型；而在远离壁面处，产生项与毁灭项平衡，易推导出DES97表现为类似Smagorinsky亚格子模型的性质[37]：

大量研究表明（综述见文献［79］［80］，最新的文献见［81］～［83］）-DES97方法较为可靠，对大尺度分离的计算特别有效，同时也能在一定程度上弥补了RANS在曲率、旋转以及可压缩效应方面的缺陷，极大地增强了RANS对于湍流预测的准确性。但是，SA-DES对网格的布置依赖较大[84], RANS和LES的交界面位置完全由网格的最大间距和网格点到壁面的距离关系决定，计算效果直接受到网格影响，这是SA-DES方法的主要缺陷。例如，过度加密流向和法向网格会使得交界面内移，RANS区域被强行激活成LES区域，此时当地模化的雷诺应力减小而近壁处又无法产生充分脉动，结果导致雷诺应力提供不足（MSD），甚至造成非物理的分离[85]。为克服SA-DES的缺陷，Spalart等人于2005年提出DDES（Delayed-Detached Eddy Simulation）方法（SA-DDES）[86]以及后来的IDDES（Improved DDES）方法[76]。该方法引入参数rd（IDDES中rdt）来分辨边界层区域，从而保证边界层内完全由RANS求解。

DES97以及后来的DDES、IDDES都是基于SA一方程湍流模型。2001年，Strelets[87]通过修改二方程SST模型中动能输运方程的长度尺度，提出基于SST模型的DES方法即SST-DES，随后，Menter等人[88]为减小SST-DES对网格的依赖性，使用SST模型固有的交界面函数来指示边界层范围，提出基于SST模型的DDES方法（SST-DDES）; Yan等人[89]基于WilcoxK-ω二方程模型，通过在输运方程不同位置修改模型的长度尺度获得三种DES类方法，并得出以下结论：若不苛求理论的完备性，只需将RANS方程的湍流长度尺度修改成当地网格间距的函数，就可以得到能够实际应用的DES方法。Bunge等人[90]构造了基于不同复杂程度的RANS模型的DES类方法，分别是：线性应力自适应一方程SA模型（Strain-Adaptive Linear Spalart-Allmaras model, SALSA）、线性当地可实现性的二方程Wilcox K-ω模型（Linear Local Realisable, LLR）以及K-ε方程的紧致显式代数应力模型（Compact Explicit Algebraic Stress Model, CEASM），很遗憾的是，它们并未在复杂算例中考核不同的基准模型对DES类方法结果的影响。另外，Deck等人[91]为防止MSD问题的产生，在网格划分时就人为指定RANS或DES求解区域，构造了Zonal DES（ZDES）方法，但该方法及后来的改进型都需要大量的经验。从2004年以后国内开始见到RANS/LES混合方法的相关文献，肖志祥、符松等人[93]分别采用DES、DDES以及Zonal-RANS/LES混合方法对底部流动、圆头方柱等模型进行了计算；孙明波等人[94]对DES类、类Menter SST混合方法以及湍流能量谱一致混合方法进行了简要评述，指出了RANS/LES混合方法应该兼顾的问题。

本节主要介绍在工程应用较多的DES类混合方法。

1.2.3.1 基于SA模型的DES类方法

1．SA模型

Spalart-Allmaras（SA）[95]模型是从经验和量纲分析出发，先针对简单流动，例如混合层、尾迹流等标定模型系数，然后利用平板边界层的试验结果补充发展该模型，使之能够适用于带有层流流动的壁面剪切湍流流动。该模型鲁棒性很好，而且适用面较广，因为其涡黏性系数的弱非线性构造能够在一定程度上反映分离区中湍流的各向异性，能够一定程度上更好地预测分离流动。另外，对于网格的要求（第一层网格高度y+）也要低于二方程湍流模型，上述优势使得SA模型在航空航天领域的CFD计算中得到广泛应用。模型中选用的应变量是与涡黏性νt相关的量，除边界层外，与νt是相等的。

SA模型中涡黏性系数μt由下式给定：

其中为保证在整个边界层速度剖面满足关系=kyuτ，定义以下衰减函数fν1：

的输运方程如下：

式中，d为网格点到壁面的最近距离。方程右侧第一项可以认为是黏性的产生项，第二项是黏性的耗散项，最后两项为黏性的扩散项，并且

上式中涡量表示为，保证在对数率区；其他各个常数为：

2．SA-DES方法

将输运方程式（1.36）的长度尺度改写为：

其中，

由式（1.37）、式（1.38）容易推出，当dw＜CDESΔ时，SA-DES为RANS的性能；当dw≥CDESΔ时，DES97表现为LES的性能。可以看出，SA-DES方法的性能完全由流场的网格因素来控制，如果壁面附近过度加密，导致“过早”地呈现LES性能，而此时的网格又没有加密到使得LES能够捕捉所有的湍流脉动，从而造成前文所提及的模化雷诺应力不足（MSD）的问题。为弥补该缺陷，Spalart等人又提出了DDES方法。

3．SA-DDES方法

SA-DDES引入参数rd以确保边界层内为RANS性能：

式中，vt为运动涡黏性；v为运动分子黏性；Ui, j为速度梯度；κ=0.41为Karman常数。

rd的定义类似SA模型中的r:rd在边界层的对数率区等于1，然后至边界层黏性顶层逐步减小为0。通过以下函数实现RANS和LES的“开关”作用：

式中，fd在边界层内为0，在其他区域等于1。该函数防止SA-DES“过早”过渡到LES模态，保证整个边界层区域由RANS控制。

这样SA-DES中的长度尺度可修改为：

1.2.3.2 基于SST模型的DES类方法

Menter[96]发现K-ω模型计算自由剪切层显著依赖于ω的自由来流值，通过比较ω方程和转化的ε方程，指出其原因就在于K-ω模型缺乏交叉扩散项。为了有效结合K-ω和K-ε模型各自的优点，Menter提出了baseline（BSL）K-ω模型[97]，在近壁处采用K-ω模型，在边界层边缘和自由剪切层采用K-ε模型，其间通过一个开关函数来控制。之后Menter又修改了BSLK-ω模型中涡黏性系数的计算，提出剪切应力输运（Shear-Stress-Transport, SST）模型。SST模型结合了近壁面附近K-ω模型的稳定性和边界层外缘K-ε模型的独立性。模型中对涡黏性的定义形式避免了在边界层内出现过高的剪切应力，使之满足Bradshaw假设，这是线性Boussinesq近似不能实现的。因此，SST模型在某种程度上反映了非线性效应，可以较好地处理湍流剪切应力在逆压梯度边界层内的输运，故SST模型能更好地预测逆压梯度和边界层分离。但由于开关函数中需计算到壁面的最小距离，这在一定程度上增加了求解SST模型的难度。

SST模型引入“开关函数”F1，将把K-ω和K-ε模型结合起来，构成以下表达式：

式中，PK、Pω与K-ω模型的表达式一样。

湍动能K及比耗散率ω的产生项：

湍动能K及比耗散率ω的耗散项：

湍动能K及比耗散率ω的扩散项：

上述式中，F1在近壁区趋近于1，模型近似于K-ω模型；远离壁面时F1趋近于0，模型转化为K-ε模型，这样将两种模型取长补短。用φ1表示原始K-ω模型中的常数，用φ2表示转化的K-ε模型中的常数，则SST模型中的常数φ可表示为：

两个模型中的常数分别如下：

K-ω模型中：

σK1=0.85, σω1=0.5, β1=0.075, β*=0.09, γ1=0.5532

K-ε模型中：

σK 2=1.0, σω2=0.856, β1=0.0828, β*=0.09, γ2=0.4404

开关函数F1定义为到壁面最小距离的函数：

式中，y表示到物面的最小距离。

另外，Menter认为涡黏性模型与全雷诺应力模型的一个主要差别在于后者考虑了雷诺应力传输的重要作用，因而模型中包含了传输项。为了弥补这一缺陷，Menter SST模型基于Bradshaw假设，在定义涡黏性系数时考虑了雷诺应力的传输。

一方面，Bradshaw假设边界层内的雷诺应力和湍动能成比例：

另一方面，在二方程涡黏性模型中，通常我们可以用涡张量Ω代替应变率，因此雷诺应力可由下式计算：

Driver的试验[98]指出，在逆压流动中K的生成项PK远大于K的耗散项DK，因此式（1.52）过估了雷诺应力。为了在涡黏性模型的结构下满足式（1.51），在Menter SST模型中，涡黏性系数被重新定义为：

式中，Ω=Ω为涡量值。开关函数F2在边界层流动中趋于1，在自由剪切层流动中趋于0。在逆压边界层流动中，由于PK＞DK（即Ω ＞aω1），上述涡黏性系数公式保证了该区域满足Bradshaw假设，而在其他流动区域中，仍采用原始公式μt=ρK/ω。因此对涡黏性系数的修正只限制在壁面边界层流动中，这通过引入开关函数F2实现。与F1类似，F2也定义为到壁面最小距离的函数：

基于SST模型的DES方法是将湍动能输运方程（K方程）耗散项［式（1.46）］进行修改，如下式所示：

“开关”函数FDES为

式中，LRANS为RANS的长度尺度，LRANS=/（β*ω）; CDES被重新标定为CDES=F1×0.78+（1-F1）×0.61。

Strelets于2001年提出了SST-DES方法，即令式（1.55）中FSST=0；随后Menter为减小SST-DES对网格的依赖性，建议令FSST=F1或F2，提出基于SST模型的DDES方法（SST-DDES）。