第二章 数的运算

知识网络图

第一节 四则运算

必备考点清单

考点一 四则运算的意义

1．加法

把两个数合并成一个数的运算叫作加法。

2．减法

已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫作减法。

3．乘法

求几个相同加数的和的简便运算叫作乘法。

4．除法

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫作除法。

考点二 加、减、乘、除各部分之间的关系

1．加法各部分之间的关系

加数+加数=和

和-一个加数=另一个加数

2．减法各部分之间的关系

被减数-减数=差

被减数-差=减数

差+减数=被减数

3．乘法各部分之间的关系

因数×因数=积

积÷一个因数=另一个因数

4．没有余数的除法各部分之间的关系

被除数÷除数=商

被除数÷商=除数

商×除数=被除数

5．有余数的除法各部分之间的关系。

被除数÷除数=商……余数

商×除数+余数=被除数

（被除数-余数）÷除数=商

（被除数-余数）÷商=除数

考点三 积的变化规律

1．因数的变化引起积的变化规律

（1）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，则它们的积也跟着乘（或除以）这个数。

（2）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数反而除以（或乘）同一个数，则它们的积不变。

2．乘比1大或小的数，积与原数的关系

（1）一个数（0除外），乘比1大的数，积比原数大。

（2）一个数（0除外），乘比1小的数，积比原数小。

考点四 商的变化规律

1．被除数与除数的变化引起商的变化规律

（1）如果被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，则它们的商也跟着乘（或除以）这个数。

（2）如果被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），则它们的商反而除以（或乘）这个数。

（3）如果被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），则它们的商不变。

2．除以比1大或小的数，商与原数的关系

（1）一个数（0除外），除以比1大的数，商比原数小。

（2）一个数（0除外），除以比1小的数，商比原数大。

考点五 估算

1．加法、减法、乘法的估算

凑整估算法，即先把各数应用“四舍五入”法估成比较接近的整数或整十整百整千的数，再口算出结果，用“≈”连接。

2．除法的估算

（1）除数是一位数的除法估算：除数不变，先根据除数想乘法口诀，再估出被除数，口算出商。如估算361÷7时，先想“五七三十五”“五八四十”这两句口诀，找出更接近被除数的，即“五七三十五”，从而把被除数估为350，再口算出结果——361÷7≈50。

（2）除数是多位数的除法估算：先用“四舍五入”法把除数估成比较接近的整十、整百的数，再按照上面的方法估算。

常考真题考例

例题1 在一个减法算式中，被减数、减数与差的和是186，已知减数是29，差是（　）。（长春市某师大附中分班考试卷）

[精析] 根据减法各部分之间的关系可知：被减数=减数+差，已知被减数、减数与差的和是186，因此186是被减数的2倍，186÷2=93，求出被减数，同时也是减数与差的和，用“93-29”求出差。

[妙解] 64

例题2 在一个有余数的除法算式中，除数是15，商是8，余数最大是（　），当余数最大时，被除数是（　）。（黄冈市小学毕业考试试卷）

[精析] 在有余数的除法中，余数要小于除数，因此余数最大是14，然后根据除法各部分之间的关系，“被除数=除数×商+余数”求出被除数。

[妙解] 14 134

例题3 若a，b，c都大于0，且，则a，b，c中最小的数是（　）。（湖北省武汉市小学毕业试卷）

[精析] 解决此题可以用假设法，假设这三个算式的结果都是1，从而求出，b=，c=2，再比较a，b，c的大小。

[妙解] b

例题4 632÷6.9≈（河北省保定市升学考试试卷）

[精析] 先把除数6.9估成整数7，然后想乘法口诀“七九六十三”，把被除数估成630，从而口算出结果为90。

[妙解] 632÷6.9≈90

易错易混题示

案例 判断：4600÷500=9……1。（　）

[错解] √

[分析] 此题错在计算时忽视了末尾的两个0，因为题目较简单可以口算46÷5=9……1，而原题是两个整百数，余数的末尾也有两个0，是100。

[正解] ×

复习备考演练

[基础练]

1．直接写出得数。

3．28+8.8=

180-90=

160×50=

960÷80=

8．5×0.4=

=

5．7×=

48÷=

2．估算。

482+318≈

902-317≈

25×398≈

711÷78≈

3．在“○”里填上“＞”“＜”或“=”。

[能力练]

4．列竖式计算。

286.3+98.75=

483-98.7=

258×48=

104.7÷6.25=

6.08×24.7≈

（精确到十分位）

18.4÷1.5≈

（保留两位小数）

5．根据59×27=1593，直接写出下面各题的得数。

0.59×27=

0.59×270=

5.9×2.7=

159.3÷59=

1593÷0.59=

15.93÷2.7=

6．选择。

（1）被除数是7.98，除数是0.36，商是22，余数是（　）。

A.6

B.0.6

C.0.06

（2）a是一个不为0的自然数，下列算式中，（　）得数最大。

A.

B.

C.

[培优练]

7．两个数的积是5.06，如果一个因数扩大5倍，另一个因数缩小为原来的，那么现在的积是多少？

8．如果，且a，b，c，d都不为0，请把a，b，c，d按从大到小的顺序排列起来。

第二节 四则混合运算及简便运算

必备考点清单

考点一 四则混合运算的计算方法

（1）四则混合运算分为两级：加法和减法叫作第一级运算，乘法和除法叫作第二级运算。

（2）四则混合运算的运算顺序：如果只含有同一级运算，从左往右依次计算；含有两级运算的，先算乘除，再算加减，有括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

考点二 简便运算

1．运算定律

（1）加法交换律：几个数相加，交换加数的位置，和不变，a+b=b+a。

（2）加法结合律：几个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，a+b+c=a+（b+c）。

（3）乘法交换律：几个数相乘，交换因数的位置，积不变，a×b=b×a。

（4）乘法结合律：几个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，a×b×c=a×（b×c）。

（5）乘法分配律：两个数的和或差与一个数相乘，可以把两个数分别与这个数相乘，再相加或相减，a×（b±c）=a×b±a×c。

2．运算的性质

（1）减法的性质：一个数连续减两个数，就可以用一个数减这两个数的和，a-b-c=a-（b+c）。

（2）除法的性质：一个数连续除以两个数，就可以用一个数除以这两个数的积，a÷b÷c=a÷（b×c）。

常考真题考例

例题1 小明是这样计算下面这道题的：（江苏省常州市升学考试试卷）

28×20÷2.5×4

=560÷2.5×4

=560÷10

=56

（1）用“________”在下面画出小明计算错误的地方。

（2）请你说说小明错在哪里？

[精析] 此题是一道三步计算，且只有乘除，为同级运算，因此计算顺序为从左往右计算，而小明在计算到第二步时不是从左往右，而是觉得2.5×4好算，就先算了后面的乘法。

[妙解]

28×20÷2.5×4

=560÷2.5×4

=560÷10

=56

小明错在计算到第二步时先算了后面的乘再算除，而应该从左往右计算。

例题2 能简算的要简算：12.5×0.25×4×8（河北省保定市升学考试试卷）

[精析] ①此题为几个数相乘，可用乘法交换律和乘法结合律，在乘法简便运算时，“看25想4，看125想8”，因为它们相乘能得到整百整千数。②此题中既有小括号，又有中括号，因此要先算小括号里的加，再算中括号里的乘，最后算括号外面的除。

[妙解] 12.5×0.25×4×8

=(12.5×8)×(0.25×4)

=100×1

=100

例题3 简便计算：5.93-0.76-0.24（广东省广州市升学考试试卷）

[精析] ①一个数连续减两个数，就可以用一个数减这两个数的和。②先把“”改为“”，可以发现两个乘法算式相加，且有相同的因数，因此可用乘法分配律使计算简便。

[妙解] 5.93-0.76-0.24

=5.93-(0.76+0.24)

=5.93-1

=4.93

例题4 简便计算：43×102；。（江苏省东台市升学考试试卷）

[精析] ①先把102改写成（100+2），然后应用乘法分配律进行简便计算。②先把改写成，再应用乘法分配律进行简便计算。

[妙解] 43×102

=43×(100+2)

=43×100+43×2

=4300+86

=4386

易错易混题示

案例1 口算：

[错解] 0

[分析] 此题中只含有一级运算，应从左往右计算或用，而不能用。

[正解]

案例2 口算：

[错解] 1

[分析] 此题中只含有一级运算，应从左往右计算或用，不能用。

[正解]

复习备考演练

[基础练]

1．填一填。

（1）计算96×（83-52÷8）时，应先算（　）法，再算（　）法，最后算（　）法。

（2）0.25×44=0.25×（　）×（　）=（　）.

2．判断。

(3)（　）

(4)（　）

(5)（　）

[能力练]

3．计算下面各题，能简算的要简算。

[培优练]

4．简便计算。

2017×

777×9+111×37

5．3×74+0.53×260

第三节 用整数和小数解决问题

必备考点清单

考点一 估算的应用

1．取近似值（先算再估）

在解决问题时，有时结果要取近似值，我们要根据实际情况选择用“四舍五入法”“进一法”或“去尾法”解决问题。

2．“大估”与“小估”（先估再算）

（1）大估：把每个数都估大后口算出得数，那么实际得数一定比估出的得数小。

（2）小估：把每个数都估小后算出得数，那么实际得数一定比估出的得数大。

考点二 一般复合应用题

1．解决问题的一般步骤

（1）读题，找出条件与问题。

（2）理清题意，找出题中的数量关系。

（3）列式计算。

（4）检验并写出答语。

2．解决一般复合应用题的方法

（1）分析法（逆推法）：从问题出发，根据数量关系分析解决此问题所需要的两个条件，然后把缺少的条件当作问题，再根据数量关系找到解决这个问题所需的条件，直到所需的条件都是已知条件为止。

（2）综合法：从题目的已知条件出发，根据数量关系求出新的数量，然后应用新的数量和数量关系继续解决问题，直到算出题中所求的问题为止。

考点三 典型实际问题

1．“归一”问题

此类题中有一个量是不变的，题中多带有“照这样计算”的字样，解题的关键是先求出单一量（总量÷数量=单一量），再根据单一量，解决题中所要求的量。

2．“归总”问题

此类题中的总量不变，解题的关键是先求出总量（单一量×数量=总量），再根据总量算出所求量。

3．行程问题

（1）速度、时间和路程三者之间的关系：

速度×时间=路程

路程÷时间=速度

路程÷速度=时间

（2）相遇问题：同时异地相向而行

相遇时间×速度和=总路程

总路程÷速度和=相遇时间

4．鸡兔同笼问题

解答鸡兔问题一般采用假设法（或方程法），假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

常考真题考例

例题1 一个机器厂原计划每天生产40台机器，20天完成任务，实际16天完成，实际每天比计划多生产多少台？（江苏省常州市升学考试试卷）

[精析] 此题采用分析法（逆推法）：根据问题反推，实际每天比计划多生产的台数=实际每天生产的（未知）-计划每天生产的（已知），而实际每天生产的台数=总台数（未知）÷实际生产的天数（已知），因此要先求出总台数，再求实际每天生产的台数，最后求实际每天比计划多生产的台数。

[妙解] 40×20÷16-40=10（台）

答：实际每天比计划多生产10台。

例题2 汉川市首届“农商行杯”汉江徒步活动于2016年5月21日上午举行，有2000名徒步爱好者围绕汉江大堤，开展了全程10km的非竞速徒步行走活动。张明报名参加了此次活动。出发30分钟后，他发现已经行走了3.75km。照这样的速度，张明行完剩下的路程还需要多长时间？（湖北省汉川市某重点小学小考检测模拟试卷）

[精析] 此题采用综合法如下：

[妙解] （10-3.75）÷（3.75÷30）=50（分钟）

答：张明行完剩下的路程还需要50分钟。

例题3 甲、乙两地相距480km，客、货两车同时从甲、乙两地相向而行，客车平均每小时行65km，货车平均每小时行60km，行驶了3小时，这时两车还相距多少千米？（重庆市渝北区小学数学毕业试卷）

[精析] 此题考查的是行程问题，根据客车和货车行驶的速度与时间可以求出它们行驶的路程，然后用“总路程-行驶的路程和=两车相距的路程”求解。

[妙解] 480-（65+60）×3=105（km）

答：这时两车还相距105km。

例题4 自行车和三轮车一共20辆，总共有49个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？（江苏省海门市升学考试试卷）

[精析] 此题考查的是典型的鸡兔同笼问题，解答此类问题一般采用假设法。方法一：假设全是自行车，三轮车辆数=（轮子总数-车辆总数×2）÷一辆自行车与一辆三轮车相差轮子数，自行车辆数=总辆数-三轮车辆数；方法二：假设全是三轮车，自行车辆数=（车辆总数×3-轮子总数）÷一辆自行车与一辆三轮车相差轮子数，三轮车辆数=总辆数-自行车辆数。

[妙解] 方法一：假设全是自行车。

三轮车：（49-20×2）÷（3-2）=9（辆）

自行车：20-9=11（辆）

答：自行车有11辆，三轮车有9辆。

方法二：假设全是三轮车。

自行车：（20×3-49）÷（3-2）=11（辆）

三轮车：20-11=9（辆）

易错易混题示

案例1 一批葡萄有205kg，用纸箱进行包装，每个纸箱能装20kg，要把这批葡萄全部装完，需要准备（　）个这样的纸箱。

[错解] 10

[分析] 此题错在没有根据实际情况分析问题，205÷20=10.25（箱），10个纸箱不能把这批葡萄全部装完，因此要采用“进一”法。

[正解] 11

案例2 妈妈要买如图2-1所示的两种商品各一件，你觉得妈妈带100元钱够吗？

[错解] 43接近40，59接近60，40+60=100（元）够。

[分析] 此题错在没有考虑实际情况，带钱只能多不能少，因此在估计时不能用四舍五入法估算，而要用“大估”的方法，即把43看作50，59看作60来估算。

[正解] 不够。

复习备考演练

[基础练]

1．学校组织六年级5个班去看电影，205个座位够坐吗？

2．2017年世界乒乓球锦标赛在德国落下帷幕，中国乒乓球队包揽了男女单打和双打4项冠军，为庆祝中国队获得佳绩，工作人员准备了285个吉祥物娃娃用作庆祝活动时分发给现场观众，每个盒子能装20个，需要准备多少个盒子才能全部装完？

[能力练]

3．某工程队修一条长7500m的公路，已经工作了8天，平均每天修240m，剩下的要在20天内完成，平均每天要修多少米？

4．甲、乙两地相距460km，大货车和客车同时从甲、乙两地相对开出，大货车每小时行55km，客车每小时行60km，几小时后两车相遇？

5．2台耕田机5小时耕地28000m²，照这样计算，3台耕田机8小时可以耕地多少平方米？

[培优练]

6．全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？

第四节 用分数和百分数解决问题

必备考点清单

考点一 分数、百分数乘除法解决问题

考点二 典型实际问题

1．工程问题

在工程问题中，工作总量一般不给出具体的数字，只是提出“一项工程”“一批零件”或“一件工作”等，解题时将工作总量看作单位“1”，工作效率用来表示。

工作效率、工作时间、工作总量三者之间的关系：

2．和倍差倍问题

（1）和倍问题的公式：已知两个数的和与两个数的关系（一个数是另一个数的几分之几）。

和÷（1+）=大数

大数×=小数（或者：和-大数=小数）

（2）和差问题的公式：已知两个数的差与两个数的倍数（几分之几）关系。

差÷（1-）=大数

大数×=小数（或者：大数-差=小数）

考点三 百分率

常考真题考例

例题1 果园里种植了420棵苹果树，比种植的梨树多，梨树种植了多少棵？（江苏省无锡市锡山区毕业调研试卷）

[精析] 根据题意画出线段图如图2-2所示：

从“比种植的梨树多”中可知，是把梨树的棵数看作单位“1”，求单位“1”的量，可以用“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”，也可根据数量关系用方程解。

[妙解] 420÷（1+）=360（棵）

答：梨树种植了360棵。

例题2 有一堆煤，第一天运走20%，第二天运走，这时还剩下12t，这堆煤共有多少吨？（江苏省丹阳市小学毕业试卷）

[精析] 根据题意画出如图2-3所示线段图：

求单位“1”的量，用除法计算，也可根据数量关系用方程解。

[妙解]

答：这堆煤共有240t。

例题3 一套课桌椅的价格是96元，其中椅子的价格是课桌的，椅子的价格是多少元？（山西省晋中市小学六年级毕业测试卷）

[精析] 一套课桌椅的价格是96元，其中椅子的价格是课桌的，则总价是课桌的“1+”，根据分数除法的意义，课桌价格是96÷（1+）元，然后再求出椅子的价格。

[妙解] =56（元）=40（元）

答：椅子的价格是40元。

例题4 修一条公路，甲队单独修完要24天，乙队单独修完要30天。甲队先修15天后，剩下的由甲、乙两队合修，修完剩下的还要多少天？（江苏省海门市升学考试试卷）

[精析] 把这项工程看作单位“1”，甲单独修完需要24天，那么甲的工作效率是，乙单独完成需要30天，那么乙的工作效率是，求剩下的甲和乙合作完成，还要多少天，先求出剩下的工作总量，再用剩下的工作总量÷甲和乙的工作效率和，求出还要的天数。

[妙解] =5（天）

答：修完剩下的还要5天。

易错易混题示

案例 张大爷家去年收获粮食1800kg，比今年少10%，张大爷家今年收获粮食多少千克？

[错解] 1800×（1-10%）=1620（kg）

[分析] 此题错在没有找单位“1”，“比今年少10%”是把今年收获的粮食看作单位“1”，今年收获的粮食是未知的，应用除法计算。

[正解] 1800÷（1-10%）=2000（kg）

复习备考演练

[基础练]

1．根据不同的条件写算式。

苹果有20kg，________________。梨子有多少千克？

①梨子是苹果的。

算式：

②是梨子的。

算式：

③梨子比苹果少。

算式：

④比梨子多25%。

算式：

[能力练]

2．六年级在学校组织的“美丽中国”美术作品比赛中，六年级男生获奖作品有21件，女生获奖作品比男生多，六年级共有多少件作品获奖？

3．双语小学要组织学生运动会，学校买来篮球25个，比买来的足球多5个，买来的篮球比足球多百分之几？

4．肖岭村在新农村建设中新修一条污水引流沟，第一星期完成了工程的，第二星期完成了工程的，还剩1040m没有完成，这条污水引流沟全长多少米？

[培优练]

5．欢欢有一本100页的作文书，她第一天看了全书的20%，第二天看了全书的，第三天她应从第几页看起？

6．一项工程，甲队单独做要8小时完成，乙队单独做要6小时完成，现两队合干2小时后，剩下的工程由乙队独做，乙队再做几小时才能完工？

数的运算综合测试

总分：100分 时间：60分钟

一、填空。（16分）

1．因为36×89=3204，所以3.6×0.89=（　），3.204÷8.9=（　）。

2．小学生每天的睡眠时间大约占一天的37.5%，小学生每天要睡（　）小时。

3．一个数除以4，再乘8，得数是40，这个数是（　）。

4．（　）kg的是13.5kg；比（　）km少20%是60km；5m比8m少（　）%。

5．两个数的积是8.5，如果一个因数扩大5倍，另一个因数缩小到原来的，那么积是（　）。

二、选择题。（6分）

1．做一个中国结需要红丝带4.5dm，现有9.72m长的红丝带，最多可以做这样的中国结（　）个。（浙江省某重点大学附中招生考试试卷）

A.21

B.21.6

C.22

D.2

2．在一个除法算式里，除数和商都是12，余数是8，被除数是（　）。

A.152

B.144

C.136

D.96

三、直接写出得数。（12分）

四、列竖式计算。（12分）

37.8×4.5=

3.12÷1.5=

42.8÷1.8≈

（结果保留两位小数）

五、计算下面各题，能简算的要简算。（24分）（南京市北京东路小学毕业试卷）

24×15-780÷13

9-0.64-0.36

12.5×32×2.5

六、综合应用。（30分）

1．小明原来的打字速度是每分钟120个字，经过一段时间练习后速度提高了，现在每分钟比原来多打多少个字？（北京市西城区小考模拟试卷）

2．据统计：上半年到体育中心参加健身活动的有12万人次，下半年比上半年多，全年到体育中心参加健身的共有多少万人次？（四川省乐山市升学考试试卷）

3．某工厂计划生产一批帐篷，如果每天生产3000顶，需要15天；实际12天完成了生产任务。实际平均每天生产帐篷多少顶？（浙江省温岭市升学考试试卷）

4．两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，甲车每小时行驶60km，乙车每小时行驶50km，经过3小时两车共行驶了全程的60%，甲、乙两地相距多少千米？（山东省莱芜市升学考试试卷）

5．甲仓库的水泥袋数是乙仓库的，乙仓库比甲仓库多60袋，乙仓库有水泥多少袋？（江苏省海门市升学考试试卷）