2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1函数

的无穷间断点的个数为（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【考点】函数间断点类型的判断

【解析】

有间断点x＝0，±1。则

所以x＝0为第一类间断点。

所以x＝1为连续点。

所以x＝－1为无穷间断点。故选择B项。

2设y₁，y₂是一阶线性非齐次微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若常数λ，μ使λy₁＋μy₂是该方程的解，λy₁－μy₂是该方程对应的齐次方程的解，则（　　）。

A．λ＝1/2，μ＝1/2

B．λ＝－1/2，μ＝－1/2

C．λ＝2/3，μ＝1/3

D．λ＝2/3，μ＝2/3

【答案】A

【考点】一阶线性非齐次微分方程的解的结构

【解析】因λy₁－μy₂是y′＋p（x）y＝0的解，故（λy₁－μy₂）′＋p（x）（λy₁－μy₂）＝0。所以λ（y₁′＋p（x）y₁）′－μ（y₂′＋p（x）y₂）＝0。而由y₁′＋p（x）y₁＝q（x），y₂′＋p（x）y₂＝q（x），所以有（λ－μ）q（x）＝0。

又因λy₁＋μy₂是非齐次y′＋p（x）y＝q（x）的解，故（λy₁＋μy₂）′＋p（x）（λy₁＋μy₂）＝q（x）。所以（λ＋μ）q（x）＝q（x）。故λ＝μ＝1/2。

3曲线y＝x²与曲线y＝alnx（a≠0）相切，则a＝（　　）。

A．4e

B．3e

C．2e

D．e

【答案】C

【考点】曲线与曲线相切，在切点处函数值相同、导数值相同

【解析】因y＝x²与y＝alnx（a≠0）相切，故

在y＝x²上，

时，有y＝a/2。在y＝alnx（a≠0）上，

时，有

所以选择C项。

4设m，n为正整数，则反常积分的收敛性（　　）。

A．仅与m取值有关

B．仅与n取值有关

C．与m，n取值都有关

D．与m，n取值都无关

【答案】D

【考点】反常积分的收敛性

【解析】分析过程如下。根据题目有

①对进行讨论：被积函数只在x→0^＋时无界。因为

又反常积分收敛，所以收敛。

②对进行讨论：被积函数只在x→1^－时无界。因为

且反常积分收敛，所以收敛。

综上，无论正整数m和n取何值，反常积分都收敛，故选D。

5设函数z＝z（x，y）由方程F（y/x，z/x）＝0确定，其中F为可微函数，且F₂′≠0，则x·（∂z/∂x）＋y·（∂z/∂y）＝（　　）。

A．x

B．z

C．－x

D．－z

【答案】B

【考点】隐函数的偏导数计算

【解析】由F（y/x，z/x）＝0得

6（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】利用积分定义求极限

【解析】

7设向量组Ⅰ：α₁，α₂，…，α_r可由向量组Ⅱ：β₁，β₂，…，β_s线性表示，下列命题正确的是（　　）。

A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s

B．若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s

C．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s

D．若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s

【答案】A

【考点】向量组的相关性判定

【解析】由于向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，所以r（Ⅰ）≤r（Ⅱ），即r（α₁，α₂，…，α_r）≤r（β₁，β₂，…，β_s）≤s。若向量组Ⅰ线性无关，则r（α₁，α₂，…，α_r）＝r，所以r（α₁，α₂，…，α_r）≤r（β₁，β₂，…，β_s）≤s。即r≤s，选A项。

8设A为4阶实对称矩阵，且A²＋A＝O。若A的秩为3，则A相似于（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】相似矩阵的性质及判定

【解析】设λ为A的特征值，由于A²＋A＝O，所以λ²＋λ＝0，即（λ＋1）λ＝0。这样A的特征值为－1或0。由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A～Λ，r（A）＝r（Λ）＝3。

因此

即

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）

93阶常系数线性齐次微分方程y‴－2y″＋y′－2y＝0的通解y＝______。

【答案】C₁e^2x＋C₂cosx＋C₃sinx，其中C₁，C₂，C₃为任意常数

【考点】高阶常系数线性齐次微分方程的解法

【解析】y‴－2y″＋y′－2y＝0，对应的特征方程为λ³＋2λ²＋λ－2＝0。（λ－2）（λ²＋1）＝0，λ＝2，λ＝±i，所以通解为C₁e^2x＋C₂cosx＋C₃sinx，其中C₁，C₂，C₃为任意常数。

10曲线

的渐近线方程为______。

【答案】y＝2x

【考点】函数图形渐近线方程的求法

【解析】由于该曲线没有水平或者竖直的渐近线，所以可设渐近线方程为y＝kx＋b，其中

所以y＝2x。

11函数y＝ln（1－2x）在x＝0处的n阶导数y^（n）（0）＝______。

【答案】－2ⁿ·（n－1）！

【考点】简单函数高阶导数的求法

【解析】由ln（1－2x）的麦克劳林展开有

y^（n）（0）＝－2ⁿ（n－1）！

12当0≤θ≤π时，对螺旋线r＝e^θ的弧长为______。

【答案】

【考点】用定积分表达和计算平面曲线的弧长

【解析】由于极坐标下弧长的微分表达式为

所以当0≤x≤π，r＝e^θ时，弧长为

13已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l＝12cm，w＝5cm时，它的对角线增加的速率为______。

【答案】3cm/s

【考点】导数的物理意义、基本初等函数的导数、导数的四则运算法则

【解析】设l＝x（t），w＝y（t），由题意知，在t＝t₀时刻x（t₀）＝12，y（t₀）＝5，且x′（t₀）＝2，y′（t₀）＝3。又

所以

14设A，B为3阶矩阵，且|A|＝3，|B|＝2，|A^－1＋B|＝2，则|A＋B^－1|＝______。

【答案】3

【考点】行列式的计算

【解析】由于A（A^－1＋B）B^－1＝（E＋AB）B^－1＝B^－1＋A，所以|A＋B^－1|＝|A（A^－1＋B）B^－1|＝|A||A^－1＋B||B^－1|。因为|B|＝2，所以|B^－1|＝|B|^－1＝1/2，因此|A＋B^－1|＝|A||A^－1＋B||B^－1|＝3×2×（1/2）＝3。

三、解答题（15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15．（本题满分10分）

求函数

的单调区间与极值。

【考点】函数的单调区间与极值的求法

解：函数f（x）的定义域（－∞，＋∞），由于

所以驻点为x＝0，±1。

列表讨论如下：

因此，f（x）的单调增区间为（－1，0）及（1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1）及（0，1）；极小值f（±1）＝0，极大值

16（本题满分10分）

（Ⅰ）比较与的大小，说明理由；

（Ⅱ）记

求极限

【考点】定积分的基本性质；利用迫敛性证明数列收敛

解：（Ⅰ）当0≤t≤1时，∵ln（1＋t）≤t，∴|lnt|[ln（1＋t）]ⁿ≤tⁿ|lnt|，因此

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

∵

∴

从而

17（本题满分11分）

设函数y＝f（x）由参数方程

所确定，其中ψ（t）具有2阶导数，且ψ（1）＝5/2，ψ′（1）＝6，已知

求函数ψ（t）。

【考点】由参数方程确定的函数的导数以及常微分方程的求解

解：∵

∴

由题设

故

从而

设u＝ψ′（t），有

由u|_t＝1＝ψ′（t）＝6，知C₁＝0，于是ψ′（t）＝3t（1＋t），

由ψ（1）＝5/2，知C₂＝0，于是

18（本题满分10分）

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3b/2时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg/m³）

【考点】用定积分计算平行截面面积为已知的立体体积

【解析】如图1所示建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为x²/a²＋y²/b²＝1，图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。记S₁为下半椭圆面积，则S₁＝πab/2，记S₂是位于x轴上方阴影部分的面积，则

记y＝bsint，则dy＝bcostdt，

于是油的质量为

图1

19（本题满分11分）

设函数u＝f（x，y）具有二阶连续偏导数，且满足等式

确定a，b的值，使等式在变换ξ＝x＋ay，η＝x＋by下简化为

【考点】偏导数的计算公式

解：

将以上各式代入原等式

得

由题意，令

解得

由10ab＋12（a＋b）＋8≠0，舍去

故a＝－2，b＝－2/5， 或a＝－2/5，b＝－2。

20（本题满分10分）

计算二重积分

其中D＝{（r，θ）∣0≤r≤secθ，0≤θ≤π/4}。

【考点】二重积分的计算方法

解：由题设可知

令x＝sint，则dx＝costdt，0＜t＜π/2，进一步可得

21（本题满分10分）

设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）＝0，f（1）＝1/3，证明：存在ξ∈（0，1/2），η∈（1/2，1），使得f′（ξ）＋f′（η）＝ξ²＋η²。

【考点】微分中值定理的应用

证明：设函数F（x）＝f（x）－x³/3，由题意知F（0）＝0，F（1）＝0。

在[0，1/2]和[1/2，1]上分别应用拉格朗日中值定理，有

二式相加得：

即f′（ξ）＋f′（η）＝ξ²＋η²。

22（本题满分11分）

设

已知线性方程组Ax＝b存在2个不同的解。

（Ⅰ）求λ、a；

（Ⅱ）求方程组Ax＝b的通解。

【考点】线性方程组有非零解的充要条件以及解的求法

解：（Ⅰ）设η₁，η₂为Ax＝b的2个不同的解，则η₁－η₂是Ax＝0的一个非零解，故|A|＝（λ－1）²（λ＋1）＝0，于是λ＝1或λ＝－1。

当λ＝1时，因为r（A）≠r（A，b），所以Ax＝b无解，舍去。

当λ＝－1时，对Ax＝b的增广矩阵施以初等变换，有

∵Ax＝b有解，∴a＝－2。

（Ⅱ）当λ＝－1，a＝－2时，

所以Ax＝b的通解为

23（本题满分11分）

设

正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵，若Q的第一列为，求a、Q。

【考点】利用正交变换化矩阵为对角阵

解：由题设，（1，2，1）^T为A的一个特征向量，于是

解得a＝－1，λ₁＝2。

由于A的特征多项式|λE－A|＝（λ－2）（λ－5）（λ＋4），所以A的特征值为2，5，－4。

属于特征值5的一个单位特征向量为

属于特征值－4的一个单位特征向量为

令

则有

故Q为所求矩阵。