第一部分　历年真题及详解

2011年公安边防消防警卫部队院校招生统考数学真题与详解

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设全集I＝{－1，0，1，2，3}，集合M＝{1，3}，则（　　）．

A．{－1，0，1，2，3}

B．

C．{1，3}

D．{－1，0，2}

【答案】D

【解析】．

2．已知向量，，则＝（　　）．

A．（4，3）

B．（0，－7）

C．（0，－6）

D．（0，3）

【答案】B

【解析】．

3．在等比数列{a_n}中，若，则公比q＝（　　）．

A．

B．－2

C．2

D．

【答案】D

【解析】．

4．函数的反函数为（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由题意知

又因为原函数值域为，所以反函数定义域为．

5．己知平面向量，，，，则向量与的夹角＝（　　）．

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

【答案】B

【解析】．

6．若，，，则a，b，c之间的大小关系是（　　）．

A．a＜b＜c

B．b＜a＜c

C．b＜c＜a

D．c＜b＜a

【答案】C

【解析】，，，因为指数函数在（－∞，＋∞）单调递增，又，所以b＜c＜a．

7．若直线x＋y－4＝0与圆相切，则实数a的值为（　　）．

A．

B．－2

C．

D．

【答案】A

【解析】圆的方程写成标准圆方程，可知圆心为（－1，2），半径为，直线与圆相切，由切线定理知圆心（－1，2）到直线的距离等于半径，即

8．函数的最小值为（　　）．

A．4

B．3

C．2

D．1

【答案】B

【解析】

当且仅当，即x＝2时取等号，所以最小值为3．

9．若双曲线的一条准线方程为，则b的值为（　　）．

A．

B．

C．1

D．2

【答案】C

【解析】易知a＝2，，准线，即，解得b＝1．

10．己知直线l⊥平面α，直线m平面β，则下列四个命题中，正确的命题是（　　）．

A．若α⊥β，则l∥m

B．若α⊥β，则l⊥m

C．若l⊥m，则α∥β

D．若l∥m，则α⊥β

【答案】D

【解析】D项，，，．

11．己知函数，其中A＞0，ω＞0，，它在长度为一个周期的闭区间上的图象如图1所示，则该函数的解析式是（　　）．

图1

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由图知A＝3，周期，．

将点代入，得

12．有6名即将退伍的战士与排长合影留念，7人站成一排，排长站在正中间，并且甲、乙两名战士相邻，则不同的站法有（　　）．

A．48种

B．96种

C．192种

D．240种

【答案】C

【解析】甲乙在1，2位，或2，3位，或5，6位，或6，7位之一，有种不同的方法；甲乙两人的不同站位，有种不同的方法；其余4人有种不同的方法；据乘法原理，共有种不同的方法．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13．sin330°＝______．

【答案】

【解析】

14．二项式的展开式中，常数项为______．（用数字作答）

【答案】6

【解析】因为，为求常数项令r＝2，所以常数项为．

15．已知数列{a_n}中，a₁＝4，，则a₄＝______．

【答案】82

【解析】依次将a_n（n＝1，2，3）代入得

16．设集合，，若A∩B＝B，则实数m的取值范围是_______．

【答案】[5，＋∞）

【解析】，，所以m≥5．

17．在正方形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，现沿EF将正方形折成直二面角（如图2），M为CF的中点，则异面直线CE与BM所成角的余弦值为_____．

图2

【答案】

【解析】如图3所示，H是EF的中点，连接HM和HB，则HM//EC，所以∠HMB就是异面直线CE与BM所成的角．由题意，正方形折成直二面角．

∵MF⊥EF，∴MF⊥平面ABFE，∴MF⊥FB；

设正方形ABCD边长为4，则MF＝1，BF＝2，故

在△BHM中，由余弦定理得．

图3

18．已知定义在区间[－2，2]上的奇函数f（x）单调递减．若，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

则有

三、解答题（本大题共5小题，满分60分．其中19小题10分，20～22小题每小题12分，23小题14分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（10分）己知

（1）求的值；

（2）求tan2θ的值．

解：（1），

（2）由（1）得

20．（12分）己知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1是偶函数，且f（1）＝0．

（1）求a，b的值；

（2）设g（x）＝f（x＋2），若g（x）在区间[－2，m]上的最小值为－3，求实数m的值．

解：（1）是偶函数，，即

又f(1)＝0，a＋b＋1＝0a＝－1，所以a＝－1，b＝0

（2）由（1）知，则

其图象是开口向下的抛物线，对称轴x＝－2，故g（x）在[－2，m]上递减．所以

解得m＝0或m＝－4，因为m＞－2，所以m＝0．

21．（12分）在等比数列{a_n}中，己知公比q＝2，S_n是{a_n）的前n项和，n∈N*，．

（1）求等比数列{a_n}的通项公式；

（2）设

①求证{b_n}是等差数列；

②求{b_n）的前10项和T₁₀．

解：（1）由己知得

所以

（2）①，

则有

为常数，且n∈N*．所以{b_n}是以b₁＝6为首项，以3为公差的等差数列．

②

22．（12分）己知椭圆过点（2，0），离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为，求|AB|的值．

解：（1）据题意，椭圆过点（2，0），离心率，则

所以椭圆方程为

（2）椭圆右焦点F（1，0），设直线AB方程为y＝k(x－1)，将其代入椭圆方程，消去y得

设，则

由AB中点的横坐标为，得

因此，，所以，弦长

23．（14分）如图4所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝2，点E是棱AC的中点．

（1）求证BE⊥平面ACC₁A₁；

（2）求二面角C-BC₁-E的大小；

（3）求点A₁到平面BC₁E的距离．

图4

证明：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BE平面ABC，所以BE⊥AA₁．在正三角形ABC中，E是AC的中点，所以BE⊥AC，又AC∩AA₁＝A，所以BE⊥平面ACC₁A₁．

（2）由（1）知BE⊥平面ACC₁A₁．

因为BE平面BC₁E，所以平面BC₁E⊥平面ACC₁A₁．作CH⊥C₁E于H，如图5所示，则CH⊥平面BC₁E．

在Rt△BCC₁中，BC＝CC₁＝2，取BC₁的中点F，连接CF，则CF⊥BC₁，连接HF，则HF是CF在平面BC₁E的射影，所以HF⊥BC₁．所以∠CFH是二面角C-BC₁-E的平面角．

在Rt△BCC₁中，BC＝CC₁＝2，F是BC₁的中点，所以，．

在Rt△ECC₁中

在Rt△CHF中，，故二面角C-BC₁-E大小为

图5

（3）由（1）知平面BC₁F⊥平面ACC₁A₁，过A₁作A₁G⊥C₁E于G，则A₁G⊥平面BC₁E．

易知，于是

所以，即点A₁到平面BC₁E的距离为．