第11章　Euclid空间上的极限和连续

11.1　复习笔记

一、Euclid空间上的基本定理

1.Euclid空间上的距离与极限

（1）Euclid空间的引入

①记R为实数全体，定义n个R的Descartes乘积集为

Rⁿ中的元素x＝（x₁，x₂，…，x_n）称为向量或点，x_i称为x的第i个坐标．特别地，Rⁿ中的零元素记为0＝（0，0，…，0）．

②设

为Rⁿ中任意两个向量，λ为任意实数，定义Rⁿ中的加法和数乘运算：

Rⁿ就称为向量空间．

③在向量空间Rⁿ上引入内积运算

那么向量空间Rⁿ称为Euclid空间．

（2）内积的性质

设则内积满足：

①正定性当且仅当x＝0；

②对称性

③线性性

④Schwarz不等式

（3）Euclid空间上的距离

①定义  Euclid空间Rⁿ中任意两点x＝（x₁，x₂，…，x_n）和y＝（y₁，y₂，…，y_n）的距离定义为

并称

为x的Euclid范数（简称范数）．显然，x的范数就是x到0的距离（即x的模长）．

②距离满足以下性质：

a．正定性当且仅当x＝y；

b．对称性

c．三角不等式

（4）点列的收敛性

①设

则点集

称为点a的δ邻域，a称为这个邻域的中心，δ称为邻域的半径．

特别地，O（a，δ）在R上就是开区间，在R²上是开圆盘，在R³上则是开球．

②设{x_k}是Rⁿ中的一个点列．若存在定点a∈Rⁿ，对于任意给定的ε＞0，存在正整数K，使得当k＞K时，

则称点列{x_k}收敛于a，记为，而称a为点列{x_k}的极限．不收敛的点列称为发散点列．

③记

则

的充分必要条件是

2.Euclid空间上的有界集、开集、闭集

（1）有界集

设S是Rⁿ上的点集．若存在正数M，使得对于任意x∈S．

（或等价地，存在正数M'使得）则称S为有界集．

（2）内点、外点、边界点

①存在x的一个δ邻域O（x，δ）完全落在S中（注意：这时x必属于S），这时称x是S的内点．S的内点全体称为S的内部，记为S^o．

②存在x的一个δ邻域O（x，δ）完全不落在S中，这时称x是S的外点．S的外点的全体称为S的外部，记为S^c．

③不存在x的具有上述性质的δ邻域，即x的任意δ邻域既包含S中的点，又包含不属于S的点，那么就称x是S的边界点．S的边界点的全体称为S的边界，记为．

注：内点必属于S，外点必不属于S（或者说必属于S^c），但边界点可能属于S，也可能不属于S．

（3）孤立点、聚点

①若存在x的一个邻域，其中只有x点属于S，则称x是S的孤立点．显然，孤立点必是边界点．

②若x的任意邻域都含有S中的无限个点，则称x是S的聚点．S的聚点的全体记为S'．

注：S的内点必是S的聚点；S的边界点，只要不是S的孤立点，也必是S的聚点．因此S的聚点可能属于S，也可能不属于S．

③定理  x是点集的聚点的充分必要条件是：存在点列{x_k}满足使得

．

（4）开集与闭集

①定义  设S是Rⁿ上的点集．若S中的每一个点都是它的内点，则称S为开集；若S中包含了它的所有的聚点，则称S为闭集．S与它的聚点全体S'的并集称为S的闭包，记为．

②定理  Rⁿ上的点集S为闭集的充分必要条件是S^c是开集．

③DeMorgan公式  设{S_a}是Rⁿ中的一组（有限或无限多个）子集，则

a．

b．

④定理  a．任意一组开集{S_a}的并集是开集；

b．任意一组闭集{T_a}的交集是闭集；

c．任意有限个开集S₁，S₂，…，S_k的交集是开集；

d．任意有限个闭集T₁，T₂，…，T_k的并集是闭集．

3.Euclid空间上的基本定理

（1）闭矩形套定理

设

是R²上一列闭矩形．如果

①

即

②

则存在惟一的点

属于，且

（2）重要定理

①Cantor闭区域套定理  设{S_k}是Rⁿ上的非空闭集序列，满足

以及

则存在惟一点属于，这里

称为S的直径．

②Bolzano-Weierstrass定理  Rⁿ上的有界点列{x_k}中必有收敛子列．

③推论  Rⁿ上的有界无限点集至少有一个聚点．

4．基本点列

（1）定义

若Rⁿ上的点列{x_k}满足：对于任意给定的ε＞0，存在正整数K，使得对任意k，l＞K成立，

则称{x_k}为基本点列（或Cauchy点列）．

（2）Cauchy收敛原理

Rⁿ上的点列{x_k}收敛的充分必要条件是：{x_k}为基本点列．

5．开覆盖与紧集

（1）开覆盖

设S为Rⁿ上的点集．如果Rⁿ中的一组开集{U_a}满足，那么称{U_n}为S的一个开覆盖．

（2）紧集

如果S的任意一个开覆盖{U_a}中总存在一个有限子覆盖，即存在{U_a}中的有限个开集满足，则称S为紧集．

（3）相关定理

①Heine-Borel定理  Rⁿ上的点集S是紧集的充分必要条件为：它是有界闭集．

②定理  设S是Rⁿ上的点集，那么以下三个命题等价：

a．S是有界闭集；

b．S是紧集；

c．S的任一无限子集在S中必有聚点．

注：Cantor闭区域套定理、Bolzano-Weierstrass定理、Cauchy收敛原理和Heine-Borel定理称为Euclid空间上的基本定理，它们是相互等价的．

二、多元连续函数

1．多元函数

设D是Rⁿ上的点集，D到R的映射

称为n元函数，记为z＝f（x）．这时，D称为f的定义域，

称为f的值域，

称为f的图像．

2．多元函数的极限

设D是Rⁿ上的开集．

为一定点，z＝f（x）是定义在上的n元函数，A是一个实数．如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，使得当时，成立

则称当x趋于x₀时f收敛，并称A为f当x趋于x₀时的（n重）极限，记为

3．累次极限

（1）相关定义

①设D是R²上的开集，为一定点，z＝f（x，y）为定义在上的二元函数．如果对于每个固定的y≠y₀，极限存在，并且极限存在，那么称此极限值为函数f（x，y）在点（x₀，y₀）先对x后对y的二次极限．同理可定义先对y后对x的二次极限

注：一个二次极限存在不能保证另一个二次极限也存在；即使两个二次极限都存在，也不一定相等．两个极限运算不一定可以交换次序．

（2）重要定理

①若二元函数f（x，y）在（x₀，y₀）点存在二重极限

且当x≠x₀时存在极限

那么f（x，y）在（x₀，y₀）点的先对y后对x的二次极限存在且与二重极限相等，即

（2）若二元函数f（x，y）在（x₀，y₀）点存在二重极限

且当时存在极限

那么

（3）若函数f（x，y）的二重极限及两个二次极限都存在，则三者必相等，即

此时极限运算可以交换次序．

4．多元函数的连续性

（1）设D是Rⁿ上的开集，z＝f（x）是定义在D上的函数，为一定点．如果

则称函数f在点x₀连续．

（2）“ε-δ”定义  如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，使得当时，成立则称函数f在点x₀连续．

（3）如果函数f在D上每一点连续，就称f在D上连续，或称f是D上的连续函数．

5．向量值函数极限

（1）向量值函数的定义

设D是Rⁿ上的点集，D到R^m的映射

称为n元m维向量值函数（或多元函数组），记为z＝f（x）．D称为f的定义域，

称为f的值域．多元函数是m＝1的特殊情形．

（2）向量值函数的极限

设D是Rⁿ上的开集，x₀∈D为一定点，是映射（向量值函数），A是一个m维向量．如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，使得当时，成立

则称A为当x趋于x₀时f的极限，并称x趋于x₀时f收敛．记为

（3）向量值函数的连续性

①设D是Rⁿ上的开集，x₀∈D为一定点．是映射（向量值函数）．如果f满足

那么称f在x₀点连续．

②ε-δ定义  如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，使得当时，成立

则称f在点x₀处连续．

③如果映射f在D上每一点连续，就称f在D上连续，称映射f为D上的连续映射．

④定理  设D是Rⁿ上的开集，x₀∈D为一定点．那么映射f：D→R^m在x₀点连续的充分必要条件为：函数f₁，f₂，…，f_m在x₀点连续．

（4）复合映射的连续性

①定义  设Ω是R^k上的开集，D为Rⁿ上的开集．为映射．并且g的值域g（D）满足，则可以定义复合映射

②定理  如果g在D上连续，f在Ω上连续，那么复合映射在D上连续．

三、连续函数的性质

1．紧集上的连续映射

（1）连续的定义

①设点集为映射（向量值函数）．如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，使得当时，成立

则称f在点x₀连续．

②如果映射f在K上每一点连续，就称f在K上连续，或称映射f为K上的连续映射．

（2）相关定理

①连续映射将紧集映射成紧集．

②有界性定理  设K是Rⁿ中紧集，f是K上的连续函数，则f在K上有界．

③最值定理  设K是Rⁿ中紧集，f是K上的连续函数，则f在K上必能取到最大值和最小值．即存在，使得对于一切x∈K成立

（3）一致连续性

①设K是Rⁿ中点集，f：K→R^m为映射．如果对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，使得|f（x′）－f（x′′）|＜ε

对于K中所有满足|x′－x′′|＜δ的x′，x′′成立，则称f在K上一致连续．

注：一致连续的映射一定是连续的，但反之不然．

②（一致连续性定理）设K是R′′中紧集，f：K→R^m为连续映射，则f在K上一致连续．

2．连通集与连通集上的连续映射

（1）连通集

①设S是Rⁿ中点集，若连续映射的值域全部落在S中，即满足，则称γ为S中的道路，γ（0）与γ（1）分别称为道路的起点与终点．

②若S中的任意两点x，y之间，都存在S中以x为起点，y为终点的道路，则称S为（道路）连通的，或称S为连通集．

②开区域、闭区域  连通的开集称为（开）区域．（开）区域的闭包称为闭区域．

（2）相关定理

①定理  连续映射将连通集映射成连通集．

②推论  连续函数将连通的紧集映射成闭区间．

③中间值定理  设K为Rⁿ中连通的紧集，f是K上的连续函数．则f可取到它在K上的最小值m与最大值M之间的一切值，即f的值域是闭区间[m，M]．