2.2.4 资金时间价值的等值计算

1．复利计算的相关参数

(1)现值(P)

发生在时间序列起点的资金价值，或者是将未来某时点发生的资金折算为之前某时点的价值，称为资金的现值。

(2)终值(F)

终值是指发生在时间序列终点的现金流量(属预测价值)，或者是将某时点发生的资金换算为以后某个时点的价值，又称为将来值。

(3)年金(A)

年金是指在一段连续的时点上发生的相等金额的现金流出或流入，又称为年值或等额值，如折旧、利息、租金等。

(4)计息周期(n)

计息周期是指计算资金利息的次数。

(5)利率(i)

利率也称为折现率。将某一时点的资金折算为现值的过程称为折现。

2．复利计算的基本公式

复利计算的基本公式分为两大类：①一次支付系列公式；②等额支付系列公式。一次支付系列是最基本的现金流量情形。一次支付也称为整存整付，是指所分析技术方案的现金流量，无论是流入还是流出，分别在各时点上只发生一次。一次支付情形的复利计算公式是复利计算的基本公式。在工程经济活动中，多次支付是最常见的支付情形。多次支付是指现金流量在多个时点发生，而不是集中在某一个时点上。如果多次支付现金流量序列是连续的，且数额相等，则称为等额支付。等额支付系列公式实际上是一次支付系列公式的应用。

(1)一次支付复利终值公式

一次支付复利终值，也称为将来值、未来值，是指发生在某一时间序列终点的资金值(收益或费用)，或者把某一时间序列其他各时点资金折算到终点的资金值。即如果有一笔资金，按年利率i进行投资，n年后本利和应该是多少？也就是已知P、i、n，求终值F。解决此类问题的公式称为一次支付复利终值公式，即

F=P×(1+i)n

该式表示在利率为i、计息期数为n的条件下，终值F和现值P之间的等值关系。式中， (1+i)n又称为终值系数，记为(F/P, i, n)。这样，该式又可写为

F=P(F/P, i, n)

一次支付复利终值的现金流量图如图2-3所示。

【例2-4】 某公司借款100万元，年利率8%，则第3年年末连本带利一次需偿还多少？

【解】 已知P=100万元，i=8%, n=3年，则根据公式得

F=P(1+i)n=100×(1+8%)3=100×1.260=126(万元)

(2)一次支付复利现值公式

一次支付复利现值是复利终值的对称概念，是指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值，或者说是为取得将来一定复利现值系数本利和，现在所需要的本金。即如果我们希望在n年后得到一笔资金F，在年利率为i的情况下，现在应该投资多少？也即是，已知F、i、n，求现值P。解决此类问题用到的公式称为一次支付复利现值公式，即

该式表示在利率为i、计息期数为n的条件下，现值P和终值F之间的等值关系。式中，又称为现值系数，记为(P/F, i, n)。这样，该式又可写为

P=F(P/F, i, n)

一次支付复利现值的现金流量图如图2-4所示。

【例2-5】 某公司欲在5年后获得1000万元，年利率8%，则现在应存入银行多少资金？

【解】 已知F=1000万元，i=8%, n=5年，则根据公式得

(3)等额支付终值公式

等额支付终值是指在一个时间序列中，在利率为i的情况下，连续在每个计息期的期末支付一笔等额的资金A，求n年后由各年的本利和累计而成的终值F。也即是，已知A、i、n，求终值F。解决此类问题用到的公式称为等额支付终值公式，其现金流量图如图2-5所示。

如图2-5所示，从第1年年末到第n年年末，有一等额的现金流系列，每年的流出金额均为A，在考虑资金时间价值的情况下，如果n年内系统的总现金流出等于总现金流入，则第n年年末的现金流入F应与等额现金流出序列等值。F即为等额支付系列的终值。

在已知等额年金A、利率i、计息周期数n的条件下，可以把它视为n个一次支付的组合，然后利用一次支付终值公式分别求出各次支付的终值，再求和。各期期末年金A相对于第n期期末的本利和可用表2-3表示。

F=A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+A(1+i)n-3+…+A(1+i)+A

将该式进行整理，得到

F=A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-3+A(1+i)n-2+A(1+i)n-1

可以看出，该式属于等比数列，可利用等比数列求和公式计算F，可得

该式表示在利率为i、计息期数为n的条件下，终值F和年金A之间的等值关系。式中，称为等额支付终值系数或年金终值系数，记为(F/A, i, n)。这样，该式又可写为

F=A(F/A, i, n)

【例2-6】 某企业每年年末在单独账户中存入人民币10万元，以备5年后设备更新之需。如果存款利率为10%，则第5年年末该企业在该账户中可支配的资金是多少？

【解】 已知A=10万元，i=10%, n=5年，则根据公式得

(4)等额支付序列积累基金公式

等额支付序列积累基金是指在一个时间序列中，为了筹集未来n期期末所需要的一笔资金F，在利率为i的情况下，计算每个计息期末应等额存入的资金A。也就是，已知F、i、n，求年金A。解决此类问题用到的公式称为等额支付序列积累基金公式，其现金流量图如图2-6所示。

等额支付序列积累基金公式可由等额支付终值公式得出：该式表示在利率为i、计息期数为n的条件下，年金A和终值F之间的等值关系。式中， 称为等额支付序列积累基金系数，记为(A/F, i, n)，这样，该式又可写为

A=F(A/F, i, n)

【例2-7】 某家庭计划在5年后获得100万元作为购房首付款，现准备每年年末存入相同金额的一笔款项。如果存款利率为4%，则该家庭每年年末应存入多少钱？

【解】 已知F=100(万元), i=4%, n=5(年)，则根据公式得

(5)等额支付现值公式

等额支付现值是指在一个时间序列中，为了连续n期每个计息期末提取等额资金A，在利率为i的情况下，求此等额年金提取的现值总额。也即是，已知A、i、n，求现值P。解决此类问题用到的公式称为等额支付现值公式，其现金流量图如图2-7所示。

两边同时除以(1+i)n，得等额支付现值计算公式：

该式表示在利率为i、计息期数为n的条件下，现值P和年金A之间的等值关系。式中， 称为等额支付现值系数，记为(P/A, i, n)，这样，该式又可写为

P=A(P/A, i, n)

【例2-8】 设立一项基金，计划在从现在开始的10年内，每年年末从基金中提取50万元。若已知年利率为10%，则现在应存入基金多少钱？

【解】 已知A=50万元，i=10%, n=10年，则根据公式得

(6)等额支付序列资金回收公式

等额支付序列资金回收是指在一个时间序列中，期初以利率i投资一笔资金P，分n期等额回收，每期期末可等额回收多少，或期初以利率i贷款P，计划分n期等额偿还，每期期末应等额偿还多少。也即是，已知P、i、n，求年金A。解决此类问题用到的公式称为等额支付序列资金回收公式，其现金流量图如图2-8所示。

等额支付序列资金回收公式可由等额支付现值公式得出：

该式表示在利率为i、计息期数为n的条件下，年金A和现值P之间的等值关系。式中，称为等额支付序列资金回收系数，记为(A/P, i, n)，这样，该公式又可写为

A=P(A/P, i, n)

【例2-9】 某项目投资1000万元，计划在6年内全部收回投资。若已知年利率为10%，则该项目每年平均净收益至少应达到多少？

【解】 已知P=1000万元，i=10%, n=6年，则根据公式得

(7)均匀梯度支付序列公式

均匀梯度支付序列是指在一个时间序列中，每期期末收支的现金流量序列以一固定的数值G等差递增或递减，如机械设备由于老化而每年的维修费以固定的增量支付，房屋租金由于经济发展而每年以一固定的增加额增加等。以一固定数值G等差递增为例，第1年年末的支付是A1，第2年年末的支付为A1+G，以后每年都比上一年增加一笔支付G，则第n年年末的支付是A1+(n-1)G。其均匀梯度支付序列现金流量图如图2-9所示。

如果将图2-9所示的现金流量转换成每期期末等额支付序列的形式，则根据等额支付终值和现值的公式，很容易求得期初的现值P和期末的终值F。

按照这样的思路，可以将图2-9的均匀梯度支付序列分解成由两个序列组成的现金流量图：一个是等额支付序列，等额值为A1，如图2-10(a)所示；另一个是由0, G,2G, …, (n-1)G组成的梯度序列，如图2-10(b)所示。如果能将图2-10(b)中的梯度序列转换成每期期末的等额值为A2的等额支付序列，则所求的等额支付序列A=A1+A2，如图2-10(c)所示。

A1是已知的，A2可以通过下列方法求得：先把序列0, G,2G, …, (n-1)G看成(n-1)个独立支付；已知利率为i，求其终值F2，再通过等额支付资金积累公式求出A2。

将①式两边乘以(1+i)，则有

由②式减①式得

iF2=G×(1+i)n-1+G×(1+i)n-2+…+G×(1+i)2+G×(1+i)-(n-1)G

该式右边等比数列求和得

根据等额支付A与终值F的关系式，可得

该式中] 称为梯度支付序列系数，记为(A/G, i, n)，这样，该式又可写为

A2=G(A/G, i, n)

所以

式中，当每期期末收支的现金流量序列以一固定数值G等差递增时，G为正值；当以一固定数值G等差递减时，G为负值。

【例2-10】 若某人第1年支付一笔10000元的保险金，之后9年内每年少支付1000元。若10年内采用等额支付的方式，利率i为8%，则等额支付款为多少时等价于原保险计划？

【解】 已知A1=10000元，i=8%, n=10年，则根据公式得

3．应用复利计算公式时应注意事项

在资金时间价值计算的基本公式中，其中一次支付终值公式是最基本的公式，其他公式都是在此基础上经过数学运算得到。在具体应用时应注意以下事项。

(1)方案的初始投资假定发生在方案的寿命期初，即“零点”处；方案的经常性支出假定发生在计息期末。

(2)P在计算期初开始发生(零时点); F在当前以后第n年年末发生；A是在考察期间各年年末发生，第一个A在P后一期，最后一个A与F同时发生。

(3)利用公式进行资金的等值计算时，要充分利用现金流量图。现金流量图不仅可以清晰、准确地反映现金收支情况，而且有助于准确确定计息期数，使计算不致发生错误。

(4)在进行等值计算时，如果现金流动期与计息期不同时，就需注意实际利率与名义利率的换算。

(5)利用公式进行计算时，要注意现金流量计算公式是否与等值计算公式中的现金流量计算公式一致。如果一致，可直接利用公式进行计算；否则，应先对现金流量进行调整，然后再进行计算。

(6)均匀梯度序列中，第一个G发生在第2期期末。