6.4 “欧拉的”函数概念

我们怎么才能准确把握欧拉的这种并非两个函数粘合而成的纯粹单函数概念呢？正如h（x）所示，C∞光滑是不够的。其实我们有两种完全不同的方法来解决这个问题。方法之一是用复数，它看似简单，但实际上相当复杂。要求也很简单：函数f（x）可延拓为关于复变量z的函数f（z）并使f（z）在关于z的一阶可微的意义下是光滑的。（因此，f（z）是复数意义上的C1函数。）这里真正显示了复数超凡的魔力，当然我们不会在此深究：如果f（z）关于z一阶可微，那么它到任意阶都是可微的！

下一章我们再来讨论复数的微积分问题，这里我们再看看另一种仅用实数来处理“欧拉函数概念”的方法，这就是我们在§2.5所述的幂级数方法。（欧拉可称得上是处理幂级数的真正大师级人物。）其实，在我们考虑复数可微性之前，熟悉幂级数方法是非常有用的。局部上看，复数可微性与可展开成幂级数是等价的，这也是复数魔力的一个真正所在。

我将以适当方式对此进行叙述，眼下我们先解决实函数问题。假定某个实函数f（x）有如下幂级数展开形式：

f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…

我们有多种办法从f（x）确定各系数a0，a1，a2，a3，a4，…。因为如果这种展开存在，则f（x）必为C∞光滑（我们不久会知道，这并非充分），因此我们有新函数f′（x），f″（x），f碶（x），f″″（x），…，等等。它们分别是f（x）的一阶、二阶、三阶等等的导数。实际上我们关心的只是这些函数在原点（x=0）的值，我们要求f（x）在此处C∞光滑。如果f（x）有幂级数展开式，则有结果（有时称为麦克劳林级数[7]）*〔6.3〕

（由§5.3知道，n！=1×2×…×n）那么其他方法是否也能奏效？如果各项a值如此确定，（包含原点的某个区间上的）幂级数的和真的就能还原为f（x）？

让我们回到貌似天衣无缝的h（x）上来。你也许已注意到，这个概念在连接点（x=0）是有缺陷的。我们来试试看h（x）是否真的能展开成幂级数。取f（x）=h（x），然后考虑各个系数a0，a1，a2，a3，a4，…，显然，这些系数全取零，因为级数必须满足h（x）=0，无论x是从哪边趋于原点。实际上，我们发现，从e－1/x方面看这些系数也全都是零，这也是为什么说h（x）在原点是C∞光滑的基本理由，因为从原点的两边求得的所有各阶导数都彼此相等。但这个结果却表明，幂级数展开对h（x）来说是无效的，因为所有项都是零（见练习6.2），因此无法求和得到e－1/x。这样，我们可将h（x）在连接点x=0的缺陷归结为：函数h（x）不能表示成幂级数。对此我们说h（x）在x=0不是解析的。

在上述讨论中，我一直做的都是幂级数关于原点的展开。对函数实数定义域中的其他点，我们一样可以做类似的处理，但得将“原点”移到相应的位置上。例如，我们要在定义域中的实数p点展开，这时就得将原先幂级数展开中的x代换为x－p：

f（x）=a0+a1（x－p）+a2（x－p）2+a3（x－p）3+…，

相应地，各系数为

这叫幂级数在p点的展开。函数f（x）称为在p点是解析的，如果它在x－p的某个区间上可以展开成上述幂级数的话。如果函数f（x）在定义域的所有点上都是解析的，我们就说它是解析函数，或等价地，是Cω光滑函数。一定意义上说，解析函数甚至比C∞光滑函数“更光滑”。另外，解析函数有这样的性质：我们不可能像上面给出的θ（x），｜x｜，x｜x｜，xn｜x｜或h（x）那样，将两个“不同的”解析函数粘合在一起。欧拉一定很喜欢这种解析函数，它们确实都是“实实在在的”函数！

然而，所有这些幂级数，哪一个驾驭起来都不是件省心的事情，即使是想象一下都未必容易。而“复”方法看起来就要省劲得多。何况它还能加深我们对函数的理解。例如，函数1/x在x=0点不是解析的，但它仍是“一个函数”。***〔6.4〕“幂级数哲学”可是无法直接告诉我们这一点。我们将看到，从复数观点看，1/x显然只是一个函数。