1.6 光频电磁波的基本理论和定律

1.6.1 光波的电磁场理论

根据光的电磁场理论，光波具有电磁波的所有性质，这些性质可以从电磁场的基本方程——麦克斯韦方程组推导出来。从麦克斯韦方程组出发，结合给定的边界条件和初始条件，可以定量地研究光波在不同介质中的各种传播特性。

1.波动方程

麦克斯韦方程组的微分形式为

式中，D、B、E和H分别为电位移矢量、电场强度、磁感应强度和磁场强度；ρ为自由电荷体密度；J为传导电流密度。这种微分形式的麦克斯韦方程组把空间任意点的电、磁场量联系在一起，可以确定空间任意点的电、磁场。

光波在各种介质中的传播实际上就是光和物质相互作用的过程。因此，在利用麦克斯韦方程组研究光波的传播特性时，还需考虑介质的属性以及介质对电磁场的影响。描述介质属性以及对电磁场量影响的方程，即物质方程为

式中，ε=ε0εr为介电常数，描述介质的电学性质，ε0是真空中的介电常数，εr是相对介电常数；μ=μ0μr为磁导率，描述介质的磁学性质，μ0是真空中磁导率，μr是相对磁导率；σ为电导率，描述介质的导电性质。

对于均匀各向同性介质，ε、μ和σ是常数。一般情况下，介质的光学性质不均匀，ε、μ和σ是空间位置坐标的函数，应表示为ε（x，y，z）、μ（x，y，z）和σ（x，y，z）。若介质是光学各向异性的，则ε、μ和σ应是张量，物质方程变为如下形式

这时，D与E、B与H、J与E一般不再同向。

麦克斯韦方程组描述了电磁现象的变化规律，指出任何随时间变化的电场将在周围空间产生变化的磁场，任何随时间变化的磁场将在周围空间产生变化的电场，变化的电场和磁场之间相互联系，相互激发，并以一定的速度在空间传播。因此交变电磁场就是在空间以一定速度传播的电磁波，它满足描述这种波动传播规律的波动方程。

下面，我们从麦克斯韦方程组出发，推导出各向同性介质中电磁波的波动方程。如果考虑远离辐射源、不存在自由电荷和传导电流的区域，麦克斯韦方程组简化为

式（1-118）两边求旋度，并将式（1-119）代入得

利用矢量微分恒等式

Δ×（Δ×A）=Δ×（Δ·A）-Δ2A

并考虑到式（1-116），可得

同理可得

若令

以上两式可改写为

这就是交变电磁场所满足的波动方程，它表明交变电场和交变磁场是以速度v传播的电磁波。

2.介质的折射率和光波速度

根据波动方程，可得光电磁波在真空中的速度为

为表征介质对光波传播快慢的影响，引入光折射率

除铁磁质外，绝大多数介质的磁性都很弱，即μr≈1，因此，折射率可表示为

该式称为麦克斯韦关系。一般来说，εr和n都是光波频率的函数，具体函数关系取决于介质的结构。

3.光波场的能流密度

电磁场是一种特殊形式的物质，具有能量。由于光波是以速度v传播的电磁波，所以它所具有的能量也向外传播。为了描述光波场能量的传播，引入能流密度——坡印亭矢量S，它定义为

表示单位时间通过垂直于传播方向上单位面积的能量。

实验表明，使光电探测器响应的是电场，对人眼视网膜起作用的也是电场，因此通常把光波中的电场矢量E称为光矢量，把电场E随时间的变化称为光振动。在讨论光波性质时，只考虑E即可。根据式（1-118）有，所以S可改写为

式中，k0为光波传播方向的单位矢量。由于光的频率很高，例如可见光为1014Hz量级，所以S的大小S随时间的变化很快，而目前光探测器的响应速度远跟不上光能量的瞬时变化，只能给出S的平均值。所以，通常是利用能流密度的时间平均值，<S>表征电磁场能量的传播，并称为光强，以I表示。假设光探测器的响应时间为T，则

式中，E0为E的振幅。

需要指出的是，在大多数应用场合，由于只考虑某一介质中的光强，只关心光强的相对值，往往省略比例系数，把光强写成

I=<E2>=E02

如果考虑的是不同介质的光强，比例系数不能省略。

4.波动方程的解——几种特殊形式的光波

由于描述光波场的波动方程是一个二阶偏微分方程，根据不同的边界条件，解的具体形式不同。可以是平面波、球面波、柱面波或高斯光束。

（1）平面波

在直角坐标系中，拉普拉斯算符的表示式为

为简单起见，假设E不随x、y变化，则波动方程简化为

为了求解波动方程，将其改写为

若令p=z-vt，q=z+vt，则有

则波动方程变为

其解为

式中，E1（z-vt）表示沿z方向，以速度v传播的波，E2（z+vt）表示沿-z方向，以速度v传播的波。将某一时刻振动相位相同的点连接起来所组成的面称为波阵面，由于式（1-126）的波阵面是垂直于传播方向z的平面（见图1-33（a）），所以E1（z-vt）和E2（z+vt）是平面光波。在一般情况下，沿任意方向k0、以速度v传播的平面波如图1-33（b）所示。

（2）球面波

若采用球坐标系，假设E与坐标θ、φ无关，则波动方程可表示为

其解为

显然，等相位面是同心球面。E1（r-vt）代表沿r正方向向外的发散球面波，E2（r+vt）代表沿r负方向的会聚球面波。点源发出的光波为球面波。

（3）柱面波

如果采用柱坐标系，E与坐标量z、φ无关，波动方程可表示为

该方程的解比较复杂，在此不详述。但可以证明，当r较大（远大于波长）时，单色柱面波可表示为

其等相面为同轴柱面，振幅与成反比。线光源发出的光波为柱面波。

（4）高斯光束

如果仍采用柱坐标系，若E仅与坐标量φ无关，波动方程可表示为

其解的一般函数形式为E=E（r，z，t）。可以证明，下面表达式满足上述波动方程：

这正是前面提及的基模高斯光束。

1.6.2 光波场的时域频率特性

这里以平面波为例讨论。

1.单色光

单色光波即单一频率的简谐光波，其最简单、最普遍的表示形式为三角函数形式。沿+z方向传播的平面简谐可表示为

单色平面波是一个时间上无限延续、空间上无限延伸的光波动，在时间和空间均具有周期性，其时间周期性由周期（T）、频率（ν）、圆频率（ω）表征，空间周期性由波长（λ）、波矢（k）表征。

为便于运算，经常把平面简谐波表示成复数形式。沿+z方向传播的平面简谐波用复数表示为

式中，E=E0eikz称为复振幅。

2.复色光

实际上，严格的单色光波是不存在的，所能得到的各种光波均为复色波。所谓复色波是指某种光波由若干单色光组合而成，或者说它包含多种频率成分，它在时间上是有限的。复色光波可表示为各个单色光波的叠加，即

实际光源发出的复色光波可近似看成是持续时间有限的等幅振荡或衰减振荡。其光波场分别表示如下。

持续时间有限的等幅振荡：

衰减振荡：

式中，ν0为中心频率。

3.准单色光

对于中心频率ν0的振荡，若其振幅随时间的变化比振荡本身缓慢得多，则这种振荡的频谱集中在中心频率ν0附近一个很窄的频段内，可认为是中心频率为ν0的准单色光。如持续时间有限的等幅振荡，如果振荡漾持续时间很长，以至于1/T≪ν0，可认为接近单色光；β值很小的衰减振荡都可以看成是准单色光。

实际激光器发出的光波大多都可按准单色光来处理。

1.6.3 相速度和群速度

1.单色光波的速度

假设单色光波电场为

式中，φ（r）为随距离变化的相位项。相应于

ωt-φ（r）=常数

的空间是曲面为该单色光波的等相位面。将式（1-136）两边求微分，得到

ωdt- Δφ（r）·dr=0

设r0为dr方向上的单位矢量，把dr改写为dr=r0ds，则有

当r0垂直于等相位面，即r0= Δφ（r）/| Δφ（r）|时上式取最小值，其值即为等相位面的传播速度：

简称为相速度。对于波矢量为k的单色平面波，随距离变化的相位项为

φ（r）=k·r-φ0

所以平面单色光波的相速度为

因此

Δφ（r）=k

应当说明的是，相速度并不表示光波能量传播的速度，因此对于色散介质的n<1的反常色散区，会出现相速度v大于真空中光速c的情况，这并不违背相对论的结论。

2.复色光波的速度

复色波的传播速度有两种含义，即等相位面的传播速度和等振幅面的传播速度，前者称为相速度，后者称为群速度。

复色波的相速度定义为等相位面的位置随时间的变化率，即

式中，ω为平均圆频率，k为波矢量大小的平均值。

复色波的群速度定义为等振幅面的位置随时间的变化率，即

式中，Δω为复色波的带宽。

相速度和群速度之间的关系为

可见，在色散介质中，相速度不等于群速度。对于正常色散（dn/dλ<0）介质，v>vg，对于反常色散（dn/dλ>0）介质，v<vg。由于光波的能量正比于电场振幅的平方，而群速度是等振幅面传播的速度，所以，群速度是光波能量传播的速度。

1.6.4 光波的横波性质和偏振态

这里以平面光波为例讨论光波的横波性质和偏振态。

1.平面光波的横波特性

假设平面光波的电场和磁场分别为

将其分别代入式（1-116）和式（1-117），可得

对于非磁性介质，因B=μ0H，有

对于各向同性介质，因D∥E，有

这些关系说明，平面光波的电场矢量和磁场矢量均垂直于波矢方向，因此平面光波是横电磁波。

2.平面光波的偏振特性

由于平面光波是横波，在垂直于传播方向的平面内，光振动方向相对于传播方向是不对称的，这种不对称性导致了光波性质随光振动方向的不同而发生变化。我们把这种光振动方向相对传播方向的不对称性质，称为光的偏振特性。

根据空间一点光电场矢量E的末端在不同时刻的轨刻，可把光波的偏振态分为线偏振光、圆偏振光和椭圆偏振光。设光波沿z方向传播，电场矢量为

由式（1-144）可知，E可以表示为沿x、y方向振动的两个独立分量的线性组合

其中

Ex=E0xcos（ωt-kz+φx）

Ey=E0ycos（ωt-kz+φy）

消去以上两式中的t，得到

式中，φ=φy-φx为相位差。这个方程一般情况下表示一个椭圆，相位差φ和振幅比Ey/Ex的不同，椭圆的形状和取向不同，从而决定了光波的不同偏振态。

（1）线偏振光

当Ex、Ey二分量的相位差φ=mπ（m=0，±1，±2，…）时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有

当m为偶数时，光振动方向在Ⅰ、Ⅲ象限内，当m为奇数时，光振动方向在Ⅱ、Ⅳ象限内。

由于同一时刻，线偏振光传播方向上各点的光矢量都在同一平面内，所以线偏振光又称为平面偏振光。通常将包含光矢量和传播方向的平面称为振动面。

（2）圆偏振光

当Ex=Ey，相位差φ=mπ/2（m=±1，±2，…）时，椭圆方程退化为圆方程

称为圆偏振光。用复数形式表示为

式中，正负号分别对应于右旋和左旋圆偏振光。通常规定逆着传播方向看，E顺时针方向旋转时，称为右旋圆偏振光，反之称为左旋圆偏振光。

（3）椭圆偏振光

一般情况下，光矢量在垂直于传播方向的平面内的大小和方向都在改变，其末端是由式（1-148）决定的椭圆，故称为椭圆偏振光。

椭圆的长、短半轴大小和取向与二分量Ex、Ey的振幅和相位差φ有关。其旋转方向取决于相位差：当2mπ<φ<（2m+1）π时，为右旋椭圆偏振光，当（2m-1）π<φ<2mπ时，为左旋椭圆偏振光。

1.6.5 光波在各向同性介质界面上的反射和折射

根据光的电磁场理论，光在介质界面上的反射和折射实质上是光与物质相互作用的结果。在这里采用简化处理方法，根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件进行讨论。

1.反射定律和折射定律

当光波由一种介质入射到另一种介质时，在界面上会产生反射和折射。假设两种介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平面，入射波、反射波和折射光波均为平面波，其光波电场可表示为

式中，下标l为i、r、t，分别代表入射光、反射光和折射光，r为界面上任意点的矢径，在图1-34所示坐标情况下，有

r=ix+jy

根据电磁场的边界条件

得到（式中下标n和t分别表示场量的界面法向分量和切向分量，σs为界面面电荷密度）

可见：入射光、反射光和折射光频率相同；入射光、反射光和折射光均在入射平面内。进一步，根据图1-34所示的几何关系，由式（1-154）得到

又因为k=nω/c，式（1-155）可改写为

这就是介质界面上的反射和折射定律。

2.菲涅耳公式

光在界面上的反射折射特性与电矢量E的振动方向密切相关。为了进一步研究入射光、反射光和折射光波的振幅、相位特性，我们把电矢量E分解成垂直于入射面的振动和平行于入射面的振动，分别称为s分量和p分量，规定其正方向如图1-35所示。

（1）菲涅耳公式

假设介质中的电场矢量为

其s分量和p分量分别表示为

则s分量和p分量的反射系数、透射系数分别定义为

根据电磁场的边界条件、s分量和p分量正方向的规定，假设界面上的入射光、反射光和折射光同相位，利用反射、折射定律，经一系列推导，可以得到s分量、p分量的反射系数、透射系数表示式，将这些表示式写成一个方程组，就是著名的菲涅耳公式，即

（2）反射率和透射率

菲涅耳公式给出了入射光、反射光和折射光的振幅关系，现在，进一步讨论反映它们之间能量关系的反射率和透射率。这里不考虑吸收、散射等能量损失，入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而总能量保持不变。

如图1-35所示，仍考虑平面波以入射角度θ1斜入射在介质的分界面，入射平面波的光强为Ii，则单位时间入射到界面上单位面积的能量为

类似地，反射光和折射光的能量可表示为

由此，可以得到反射率和透射率分别为

将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中s分量和p分量的反射率和透射率

根据式（1-165），显然有

Rs+Ts=1，Rp+Tp=1

可见，光在界面上反射、透射特性由三个因素决定：入射光的偏振态、入射角和界面两侧介质的射率。图1-36给出了光学玻璃（n=1.52）和空气界面计算得到的反射率随入射角θ1的变化关系曲线。

由图1-36中R随入射角θ1的变化关系可以看出：

① 在小角度（正入射）和大角度（掠入射）情况下，Rs≈Rp。在正入射时，有

相应有

在掠入射（θ≈90°）时，Rs≈Rp≈1。

② 当光波以某一特定角度θ1=θB入射时，Rp=0，在反射光中不存在p分量。根据菲涅耳公式有θ2+θB=90°，即反射光波矢和折射光波矢夹角90°。应用折射定律，可求得该角度满足

该角θB称为布儒斯特角。

③ 当光波由光密介质向光疏介质入射（n1>n2）时，存在一个临界角θC，当θ1>θC，Rs=Rp=1，发生全反射。根据折射定律，有

④ 反射率的大小与界面两侧介质的折射率有关。图1-37给出了n1=1，光波正入射情况下反射率R随折射率n2的变化关系。实际工作中，一定要注意折射率n对反射率R的影响。例如，正入射时，普通玻璃（n=1.5）的反射率R≈4%，红宝石（n=1.5769）的反射率R≈7.7 %，而对红外透明的锗（n=4）的反射率R高达36 %，一次反射几乎要损失近40 %的光能量。

3.反射光和折射光的偏振特性

（1）光波偏振的分类和偏振度

如果光波在垂直于传播方向的平面内具有一切可能的振动方向，且在各个振动方向上振动的振幅在观察时间内的平均值相等、初相位完全无关，这样的光波称为完全非偏振光，或自然光。

如果各个振动方向上振动强度不相等，这样的光波称为部分偏振光。

如果光矢量有确定不变的或规则变化的振动方向，这样的光波称为完全偏振光。

部分偏振光可以看作是完全偏振光与自然光的混合，而完全偏振光若不加特殊说明，都指线偏振光。

为了研究光波的偏振特性，将任意光矢量视为两个正交分量（如s分量和p分量）的组合，这样任意光波能量都可表示为

W=Ws+Wp

对于完全非偏振光，Ws=Wp；对于部分偏振光，Ws≠Wp；对于完全偏振光，或Ws=0，或Wp=0。

为了表征光波的偏振特性，引入偏振度P。偏振度P定义为：在部分偏振光的总强度中，完全偏振光所占的比例，即

式中，IL是部分偏振光中完全偏振光的光强，IW是部分偏振光的总光强。偏振度还可以表示为

式中，IM和Im分别为两特殊（正交）方向上所对应的最大和最小光强。

对于完全非偏振光，P=0；对于完全偏振光，P=1；对于部分偏振光，0<P<1，P越接近于1，光波的偏振度越高。

由菲涅耳公式可知，通常rs≠rp，ts≠tp，因此反射光和折射光的偏振态相对入射光会发生变化，下面，分别入射光为自然光和线偏振光，讨论反射光和折射光的偏振特性。

（2）自然光的反射和折射特性

由于入射自然光的能量Wi=Wis+Wip，Wis=Wip，因此自然光的反射率为

相应的反射光的偏振度为

折射光的偏振度为

根据前面有关反射率的讨论，在不同入射角度下，自然光的反射、折射光的偏振特性如下：

① 当自然光正入射（θ1=0°）和掠入射（θ2≈90°）时，Rs=Rp，Ts=Tp，因此Pr=Pt=0即反射光和折射光仍为自然光。

② 自然光斜入射界面时，一般因Rs≠Rp，Ts≠Tp，反射光和折射光都变为部分偏振光。但是反射光的偏振度和折射光偏振度不同，一般来说，反射光的偏振度大于折射光的偏振度，特别是当入射角θ1=θB时，RP=0，反射光为线偏振光，但折射光仍为部分偏振光。

（3）线偏振光的反射、折射特性

当线偏振光入射到界面时，把入射光的E矢量分解成为s分量和p分量，由于s分量和p分量的反射系数不同，相对入射光而言，反射光和折射光的振动面将发生旋转。旋转情况这里不详细讨论，但是反射光和折射光仍为线偏振光。

1.6.6 几何光学基本定律

前面我们指出光是电磁波，讨论了光的基本性质。在许多实际应用中，由于光的频率很高，波长很短，光的传播特性可以利用波长趋于零的极限情况来近似，这就是几何光学处理光传播的基本思想。几何光学的基本处理方法是把光在均匀介质中的传播用几何上的直线表示，并称为“光线”，不考虑光和物质的相互作用，用光线概念描述光学系统的传播和成像规律。这种处理方法简单明了，对于大多数工程技术应用问题，都可以得到比较满意的近似结果。

1.波面、光线和光束

当发光体（光源）的大小和其幅射能的作用距离相比可以忽略不计时，该发光体称为发光点或点光源，在几何光学中，发光点被抽象为一个既无体积又无大小的几何点，任何欲成像的物体都可以看成由无数这样的发光点组成。

如前所述，光矢量振动方向相同的空间各点在某时刻所形成的曲面称为波面。波面可以是平面、球面或其他曲面。

在几何光学中，把光线抽象为既无直径又无体积的几何线。它的方向代表光线的传播方向即光能量的传播方向。

利用光线，可以把光学中复杂的能量传输和光学成像问题归结为简单的几何运算问题，从而使所要处理的问题大大简化。

在各向同性介质中，光波沿波面法线方向传播，可以认为波面法线就是几何光学中的光线，把与波面对应的法线束称为光束。平面波对应于平行光束，球面波对应于会聚或发散光束，其光线既不交于一点，又不平行所对应的光束称为像散光束，如图1-38所示。

2.几何光学基本定律

（1）光的直线传播定律

在各向同性的均匀介质中，光线按直线传播，这就是光的直线传播定律。光的直线传播定律可以很好地解释影子的形成、日食、月食等现象。当光路中放置很小的不透明障碍物或小孔时，光的传播将偏离直线，这就是光的衍射现象。可见，光的直线传播定律只有光在均匀介质中无阻拦地传播时才成立。

（2）光的独立传播定律

从不同光源发出的光线，以不同的传播方向通过介质中某点时，各光线彼此互不影响，好像其他光线不存在似地独立传播，这就是光的独立传播定律。利用这条定律，可使对光线的研究大大简化，因为研究某一光线时，不必考虑其他光线的影响。

3.光的反射定律和折射定律

当光线在传播中遇到两种介质的界面时，光线将发生反射和折射，其继续传播的规律遵循反射定律和折射定律，有关反射定律和折射定律的内容前面已详细讨论过。