1.2 数学史的分期和数学观
1.2.1 数学史的分期
数学科学发展具有阶段性，目前学术界通常将数学科学发展划分为五个时期：
（1）数学萌芽期（公元前600年以前）；
（2）初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；
（3）变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；
（4）近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；
（5）现代数学时期（20世纪40年代以来）。
1.2.2 数学观的演化
当代数学观是人类几千年文明发展的必然结果。自诞生以来，数学的内涵发生了巨大变化，据统计数学已有过200余种定义。对数学的看法不一，既有赖于时代的发展，也因人们看问题的角度及对数学理解的层次有异。所有的学问都是一种智慧，更是一种境界；是一种头脑，更是一种心胸；是一种本领，更是一种态度；是一种职业，更是一种使命；是一种日积月累，更是一种人性的升华。
公元前6世纪以前，数学主要是关于“数”的研究。毕达哥拉斯学派的基本信条就是“万物皆数”，但当时“数”仅限于有理数。自公元前6世纪始，数学是对“数”和“形”的研究。公元前4世纪希腊哲学家亚里士多德所给数学定义为：数学是量的科学，这里的量也不能单纯理解为今天的数量。
北非希波主教圣·奥古斯丁（Aurelius Augustinus，354—430年）的神学体系于5～12世纪在西欧基督教会中占统治地位。他认为，“好基督徒应提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已存在，数学家已与魔鬼签订了协约，要使精神进入黑暗，把人投入地狱。”古罗马法官则裁决“对于作恶者、数学家诸如此类的人”，应禁止其“学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学问”。
至16世纪，英国哲学家培根（Francis Bacon，1561—1626年）将数学分成“纯粹数学”和“应用数学”。所给纯粹数学的定义为：处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学。
17世纪，算术、代数和几何在解析几何中得到统一。数可被映射为图形上的点，而图形可变成方程。正是这种解析手段打开了通向一大批高等数学学科的道路。故解析几何的奠基者笛卡儿（Rence Descartes，1596—1650年）认为：凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。
在莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646—1716年）看来，数学是聪明人和有志者的事业，即使其数学基础知识很少，或者对数学细节尚未了解，但只要有远大目标和足够才智，他血液中就具备了数学，就可以在数学上取得良好的进展，这也许是对他自己数学研究的真实写照。
微积分的创立，使数学成为研究数、形及运动和变化的学问，但运动和变化的数学描述还是离不开数与形。19世纪，恩格斯（Friedrich Engels，1820—1895年）所给数学定义为：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
切比雪夫（П.Л. Чебышев，1821—1884年）是圣彼得堡数学学派的奠基者。对于数学的发展，切比雪夫有着独到见解：“原来的数学发展有两个阶段：第一阶段是由神创立的，像德洛斯祭坛的故事就说明如此；第二阶段是由半人半神建立的，费马（Pierrede Fermat， 1601—1665年）和帕斯卡（B.Pascal，1623—1662年）就是这样的怪物。现在数学发展进入了第三阶段，数学完全由社会实际需要所创立。”
作为切比雪夫弟子的马尔可夫，以从事数学教学和研究为骄傲。曾有人向他请教数学的定义，他毫不掩饰地说： “数学，那就是高斯、切比雪夫、李雅普诺夫（A.M.Ляпyнoв， 1857—1918年）、斯捷克洛夫（B.A.Steklov，1864—1926年）和我所研究的东西”。正是马尔可夫对数学的酷爱之感和痴爱之情深深地感染了学生，激发了学生对数学的学习兴趣。在一次概率论课上，马尔可夫的开场白为：“我获悉喀山数学会提出研究课题：概率论的公理化基础，现在我们就开始着手干吧。”
数学能够医治病痛，这也许听来滑稽，但却有其事。捷克斯洛伐克的数学家波尔查诺（Bernard Bolzano，1781—1848年），记述了自己的亲身经历：有次我在布拉格度假时，突感浑身发冷，疼痛难忍。为分散注意力，我拿起了欧几里得的《原本》，第一次阅读第五卷中欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前347年）关于比例理论的精彩论述，这种高明的处理方法使我无比兴奋，以至于从病痛中完全解脱了。
随着数学家开发的领域扩展到群论、统计学、最优化和控制理论之中，数学的历史边界已经完全消失，从这个广泛背景观察，数学不只是讨论数与形，而且还讨论各种类型的模式和次序。希尔伯特认为：数学是处理无限的科学。他相信一切数学概念最后都会协调一致，其信条是：数学的任何问题最终要么有个真正解答，要么被证明不可能求解。
集合论的创立者康托尔提出：“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。即其概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。”
19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构（群，环，域……）、序结构（偏序，全序……）和拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）这三种母结构之上。布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。
博雷尔（Email Borel，1871—1956年）认为：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定是否正确的唯一科学。”这里博雷尔强调了数学的绝对真理性。
几乎与博雷尔相对，罗素（Bertrand A.W.Russell，1872—1970年）在20世纪初这样定义数学：“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟是什么。只要我们的假定是关于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成为数学。这样，数学可定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。”
按罗素的数学定义，数学已达到如此玄妙境界：任一给定前提的真或假已不起作用，重要的是如何从前提推导到结论。利用这一准则，数学家可以声言，月球是用青青的干奶酪造成的。再通过一系列更进一步的前提，他可以令人信服地论证，并最后得出结论，登月者应当带点脆饼干去。
罗素还认为，“数学不仅拥有真理，且拥有至高无上的美：一种冷峻严肃的美，就像是一尊雕塑。这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰，它可以纯洁到崇高的程度，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界。”罗素11岁开始学习欧几里得几何学，他感到学习数学就像初恋一样令人陶醉，从来没有想象到世界上还有如此美妙的东西。
1941年，柯朗（Courant，1888—1972年）认为：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，其基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”
20世纪50年代，前苏联数学家提出：“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学。”
这里的“量”显然和亚里士多德的量含义不同：不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系，而且包括了一切可能的空间形式和数量关系。格涅坚科（B.V.Gnedenko， 1912—1995年）认为，数学现已成为认识世界的强有力工具，成为社会生产力。及时正确地应用数学方法可使我们建立相关定量理论，预测我们感兴趣的事件，选择解决问题的最佳方案。数学理论的价值和生命力不是其结构如何优美，而是其同社会实际问题有多少深入和牢固地联系。
20世纪80年代美国学者提出：“‘数学’ 这个领域已被称做模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。”
春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，四季循环往复；球形的雨从云中飘落；繁星夜夜周而复始地从天空中划过；世界上没有两片完全相同的雪花，但所有雪花都是六角形……我们生活在由诸多模式组成的世界中。在这个定义中，“模式”代替了“量”，而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推力与通信的模式，行为的模式等。这些模式可以是现实的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的。
我国当代学者也给了一些数学定义。
陈省身（Shiing-shen Chern，1911—2004年）认为，大致说来，数学和其他科学一样，其发展基于两个原因：奇怪的现象和数学结果的应用。数学把“奥妙变为常识，复杂变为简单”。他说，“数学研究与其他科学相比，其显著的特点就是向多方面发展”。
吴文俊认为，数学这门基础学科已经越来越渗透到各个领域，成为各种科学、技术和生产以致日常生活所不能缺少的有力武器。在现代科学技术中，如果不借助数学，不与数学发生关系就不可能达到应有的精确性和可靠性。
钱学森（1911—2009年）认为，数学是社会科学和自然科学的基础，哲学是社会科学和自然科学的概括。
齐民友认为，数学的生长像竹子，根在大地，然后自己一节一节向上长，间或爆出新笋，长成新竹。若干年后，竹子开花，结成种子，重回大地。
方延明：数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的结构的一门科学。
徐利治：数学是“实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界中最具特殊性、实践性及多样性的量与空间形式的科学”。
高隆昌和胡勋玉：能对大自然中任意对象予以符号化、量化和形式语言化，从而进行逻辑演算，以揭示大自然规律的科学叫做数学。
子曰：“君子不器。”数学恰是不器之学，堪比孔子意义下的君子。数学最显著特点是体系的严谨性，要求每个概念都要给出明确定义，但“数学”本身却无法给出十全十美、无懈可击的定义，其根本原因是由于数学科学还在不断的飞速发展。其他许多基础学科也是如此，如“科学”至今也无法给出完美无缺的定义。有时过分苛刻的定义会成为事物发展的桎梏，故我们不必追求过分严密的数学定义而应给其留有发展空间。正如美籍波兰学者塔斯基（Alfred Tarski，1901—1983年）所说：“对于足够丰富的数学系统来说，要给出真理的令人满意的定义是不可能的，但在较小范围内这种定义是可能的。”
1.2.3 数学科学的主要研究方向
按美国《数学评论》杂志的分类，现代数学的研究方向包括90多个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计。下面为主要研究方向：
（1）数理逻辑与数学基础
a. 演绎逻辑学（符号逻辑学）
b. 证明论（元数学）
c. 递归论
d. 模型论
e. 公理集合论
f. 数学基础
（2）数论
a. 初等数论
b. 解析数论
c. 代数数论
d. 超越数论
e. 丢番图逼近
f. 数的几何
g. 概率数论
h. 计算数论
i. 模型式与模函数论
（3）代数学
a. 线性代数
b. 群论、环论和域论
c. 序结构研究
d. 李群和李代数
e. 可除代数和体
f. Kac-Moody代数
g. 编码理论与方法
h. 模论和格论
i. 代数群
j. 泛代数理论
k. 范畴论和同调代数
l. 群表示论
m. 代数K理论
n. 微分代数
o. 代数编码理论
（4）代数几何学
a. 连续与离散的对偶性
b. Riemann-Roch-Grothendick理论
c. Scheme theory
d. Topis theory
e. L-adic上同调和etale上同调
f. Grothendick圈
g. 晶体与晶状上同调
h. de Rahm系数
i. Hodge系数理论
j. 新同伦代数
k. Topis的上同调
l. 稳和拓扑
（5）几何学
a. 几何学基础
b. 欧氏几何学
c. 非欧几何学
d. 球面几何学
e. 向量和张量分析
f. 仿射几何学
g. 射影几何学
h. 微分几何学
i. 分数维几何
j. 计算几何学
k. 流形上的分析
l. 黎曼流形与洛仑兹流形
m. 齐性空间与对称空间
n. 调和映照及其在理论物理中的应用
o. 子流形理论
p. 杨-米尔斯场
q. 辛流形
（6）拓扑学
a. 点集拓扑学
b. 代数拓扑学
c. 同伦论和同调论
d. 低维拓扑学
e. 微分拓扑学
f. 维数论和奇点理论
g. 格上拓扑学
h. 纤维丛论
i. 几何拓扑学
（7）函数论
a. 微积分学
b. 函数逼近论和级数论
c. Rn中调和分析实方法
d. 多单复变函数论
e. 复流形和复动力系统
f. 非紧半单李群的调和分析
（8）非标准分析
（9）常微分方程
a. 定性理论
b. 稳定性理论
c. 解析理论
d. 泛函微分方程
e. 特征与谱理论及其反问题
f. 分支理论
g. 混沌理论
h. 奇摄动理论和动力系统
i. 复域中的微分方程
（10）偏微分方程
a. 椭圆形偏微分方程
b. 双曲形偏微分方程
c. 抛物形偏微分方程
d. 非线性偏微分方程
e. 连续介质物理与力学及反应
f. 非线性波
g. 微局部分析与一般偏微分算子理论
h. 调混合形及其他带奇性的方程
i. 非线性发展方程
j. 无穷维动力系统
k. 偏微分方程其他学科
（11）动力系统
a. 微分动力系统
b. 拓扑动力系统
c. 复动力系统
（12）积分方程
a. 线性积分方程
b. 第一类Fredholm方程
c. 奇异积分方程
d. 积分方程组
e. 非线性积分方程
（13）泛函分析
a. 线性算子理论
b. 变分法
c. 拓扑线性空间
d. 希尔伯特空间
e. 函数空间
f. 巴拿赫空间
g. 算子代数和非线性泛函分析
h. 测度与积分
i. 广义函数论
（14）计算数学
a. 插值法与逼近论
b. 常微分方程数值解
c. 偏微分方程数值解
d. 积分方程数值解
e. 数值代数
f. 连续问题离散化方法
g. 随机数值实验
h. 误差分析
i. 计算数学其他学科
（15）概率论
a. 几何概率
b. 概率分布
c. 极限理论
d. 随机过程（含平稳过程）
e. 马尔可夫过程
f. 随机分析
g. 鞅论
h. 应用概率论
i. 随机场
（16）数理统计学
a. 抽样理论
b. 假设检验
c. 非参数统计
d. 方差分析和回归分析
e. 蒙特卡洛方法
f. 统计推断
g. 贝叶斯统计
h. 试验设计
i. 多元分析和统计线性模型
j. 统计判决理论
k. 时间序列分析
l. 数据分析及其图形处理（17）应用统计数学
a. 统计质量控制
b. 可靠性数学和统计模拟c. 保险数学
（18）运筹学
a. 线性规划
b. 非线性规划
c. 动态规划
d. 组合最优化
e. 参数规划
f. 整数规划和图论
g. 随机规划
h. 排队论
i. 对策论（博弈论）
j. 库存论和最优化
k. 决策论和统筹论
l. 搜索论
（19）组合数学
a. 组合计数和组合设计
b. 组合算法
c. 组合概率方法
d. 密码学和图论
e. 复杂度分析
f. 线性计算几何
（20）模糊数学
a. 模糊控制和决策
b. 模糊识别和评判c. 模糊聚类分析
（21）数学物理
a. 规范场论
b. 引力场论的经典理论与量子理论
c. 孤立子理论
d. 统计力学
e. 连续介质力学等方面的数学问题
（22）控制论
a. 有限维非线性系统
b. 分布参数系统的控制
c. 随机系统的控制
d. 最优控制理论与算法
e. 参数辨识与适应控制
f. 稳健控制
g. 线性系统的代数与几何方法
h. 控制的计算方法
i. 微分对策理论
（23）计算机的数学基础
a. 可解性与可计算性
b. 机器证明
c. 计算复杂性
d. VLSI数学基础
e. 计算机网络与并行计算
（24）计算数学与科学工程计算
a. 偏微分方程数值计算
b. 初边值问题数值解法及应用
c. 奇异性问题
d. 非线性微分方程及其数值解法
e. 边值问题数值解法及其应用
f. 代数微分方程
g. 有限元和边界元数值方法
h. 变分不等式的数值方法
i. 辛几何差分方法
j. 数理方程反问题的数值解法
k. 常微分方程数值解法及其应用
l. 二点边值问题
m.STIFF问题研究
n. 数值代数大型稀疏矩阵求解
o. 代数特征值问题及其反问题
p. 非线性代数方程
q. 一般线性代数方程组求解
r. 快速算法
s. 有理逼近和多元逼近
t. 曲面拟合和光滑拼接
u. 曲面造型和曲面设计
v. 散乱数据插值
w. 计算几何
（25）若干交叉学科
a. 信息论及应用
b. 经济数学
c. 生物数学
d. 不确定性的数学理论
e. 分形论及应用
按照我国国务院学位办关于授予博士、硕士学位和培养研究生的学科专业简介，数学科学一般分成五个紧密联系的二级学科。
基础数学，又称纯粹数学，是数学的核心和灵魂。其思想、方法和结论是整个数学科学的基础，是自然科学；社会科学、工程技术等方面的思想库。基础数学主要包含数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、函数论、泛函分析、微分方程等分支，并还在源源不断地产生新的研究领域，范围异常广泛。
计算数学是研究用电子计算机数值求解科学和工程问题的理论和算法，其目标是高效、稳定地求解各类科学技术领域中产生的数学问题。研究高效的计算方法与发展高速的计算机处于同等重要的地位；此外，数值模拟已能够用来减少乃至代替耗资巨大甚至难以实现的某些大型实验。近年来，随着电子计算机的飞速发展，产生了符号演算、机器证明、计算机辅助设计、数学软件等新的学科分支，并与其他领域结合形成了计算力学、计算物理、计算化学、计算生物等交叉学科。
应用数学是联系数学科学与现实世界的重要桥梁，主要研究自然科学、工程技术、信息、经济、金融、管理、社会与人文科学中的数学问题，包括建立相应的数学模型，利用数学方法解实际问题，研究具有实际背景和应用前景的数学理论等。第二次世界大战以来，应用数学得到了迅猛的发展，其思想和方法深刻地影响着其他科学的发展，并促进了某些重要的综合性学科（如非线性科学）的诞生和成长。同时，在研究解决实际问题的过程中，新的重要数学问题不断产生，有力地推动着数学本身的发展。
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的学科。概率论旨在从理论上研究随机现象的数量规律，是数理统计的基础。数理统计是研究如何有效地收集、分析和使用随机性数据的学科，为概率论的实际应用提供了广阔的天地。概率论和数理统计相互依存，相互推动，借助着计算机的技术，在科学技术、工农业生产、经济金融、人口健康和环境保护等方面发挥着重要的作用。概率统计思想渗入各个学科已成为近代科学发展的明显特征之一。
运筹学和控制论以数学和计算机为主要工具，从系统和信息处理的观点出发，研究解决社会、经济、金融、军事、生产管理、计划决策等各种系统的建模、分析、规划、设计、控制及优化问题，是一个包含众多分支的学科。运筹学结合数学其他分支、计算机科学、管理科学、通过对建模方法和最优化方法的研究，为各类系统的规划设计、管理运行和优化决策提供理论依据。控制论目前处于数学科学、计算机科学、工程学等学科交叉发展的前沿，是以自动化、机器人、计算机和航天技术为代表的新技术革命的理论基础。